Задание 45 из 69Иррациональные уравненияЯщенко · вариант 12

Линия №7

Найдите корень уравнения $5 x$ $= 2 \frac{1}{2} x$ . Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Источник: Ященко

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 0,8

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Запишем смешанное число неправильной дробью. Возведём в квадрат и решим уравнение, не теряя нулевой корень.

\sqrt{5x}=2\frac12x

Ключевая идея:

Нельзя сразу делить на x: ноль может быть корнем. Вынесение x за скобки сохраняет оба случая.

uv=0\iff u=0\ \text{или}\ v=0

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Исходное уравнение

\sqrt{5x}=2\frac12x

Укажем ОДЗ и преобразуем коэффициент

Подкоренное выражение неотрицательно только при x ≥ 0. Тогда правая часть также неотрицательна.

x\ge0

2\frac12=\frac52

Возведём в квадрат

Квадрат произведения равен произведению квадратов.

5x=\frac{25}{4}x^2

25x^2-20x=0

Найдём корни без деления на x

Вынесем x за скобки. Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю.

x(25x-20)=0

x=0

x=\frac{4}{5}=0{,}8

Проверим и выберем больший

При x = 0 обе части равны нулю. Второй корень положителен, также подходит и является большим.

\sqrt{5\cdot 0{,}8}=2

\frac{5}{2}\cdot 0{,}8=2

x_{\max}=0{,}8

Ответ

x=0{,}8

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Основное свойство
Нельзя сразу делить на x: ноль может быть корнем. Вынесение x за скобки сохраняет оба случая.
$uv=0\iff u=0\ \text{или}\ v=0$
Допустимые значения
Ограничения проверяются в исходном уравнении и сохраняются при преобразованиях.
$x\ge0$
Проверка результата
Подстановка должна давать определённые и равные значения обеих частей.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Главная ловушка
Смешанное число — это сумма целой и дробной частей. При делении на x можно потерять корень x = 0.
Выбор ответа
Сначала найдите и проверьте все корни, затем выполните указание о большем или меньшем корне.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Ограничения учтены
Найденный корень принадлежит области допустимых значений.
$x\ge0$
Подстановка выполнена
В последнем шаге обе части исходного равенства проверены.
Ответ выбран
Записан нужный допустимый корень без округления.
$x=0{,}8$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №7Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите корень уравнения 5x​ =221​x. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из корней.