Задание 37 из 69Логарифмические уравненияЯщенко · вариант 4

Линия №7

Найдите корень уравнения $lo g_{32} 4^{7 - x}$ $= 8$ .

Источник: Ященко

Ответ:

Показать ответ

Ответ: -13

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Сначала по определению логарифма перейдём к показательной записи, затем приведём степени к одному основанию.

\log_{32}4^{7-x}=8

Ключевая идея:

Степени одного положительного основания, отличного от единицы, равны только при равных показателях.

a^u=a^v\iff u=v

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Исходное уравнение

\log_{32}4^{7-x}=8

Укажем допустимые значения

Аргумент логарифма — положительная степень положительного числа при любом x. Основание логарифма положительно и отлично от единицы.

x\in\mathbb R

Приведём к общему основанию

По определению логарифма его аргумент равен основанию в степени, указанной справа.

4^{7-x}=32^8

4=2^2,\quad32=2^5

2^{2(7-x)}=2^{40}

Приравняем показатели и найдём x

Основание 2 положительно и не равно единице. Поэтому равенство степеней равносильно равенству показателей.

14-2x=40

-2x=26

x=-13

Проверим подстановкой

Подставим найденное значение. Обе части исходного уравнения равны; линейное уравнение дало единственный корень.

4^{7-(-13)}=2^{40}=32^8

\log_{32}(32^8)=8

Ответ

x=-13

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Основное свойство
Степени одного положительного основания, отличного от единицы, равны только при равных показателях.
$a^u=a^v\iff u=v$
Допустимые значения
Ограничения проверяются в исходном уравнении и сохраняются при преобразованиях.
$x\in\mathbb R$
Проверка результата
Подстановка должна давать определённые и равные значения обеих частей.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Главная ловушка
При возведении степени в степень показатели перемножаются. Отрицательный показатель относится ко всему выражению в скобках.
Выбор ответа
Ответом является значение x, а не промежуточное значение выражения.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Ограничения учтены
Найденный корень принадлежит области допустимых значений.
$x\in\mathbb R$
Подстановка выполнена
В последнем шаге обе части исходного равенства проверены.
Ответ выбран
Записан нужный допустимый корень без округления.
$x=-13$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №7Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите корень уравнения log32​47−x =8.