Задание 50 из 69Логарифмические уравненияЯщенко · вариант 17

Линия №7

Найдите корень уравнения $1 + lo g_{5} (2 x + 17)$ $= 2 lo g_{5} (x + 1)$ . Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Источник: Ященко

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 14

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Запишем ОДЗ, объединим логарифмы и решим полученное квадратное уравнение.

\begin{gathered}1+\log_5(2x+17)\\=2\log_5(x+1)\end{gathered}

Ключевая идея:

Перед применением формулы логарифма степени сохраняем строгое условие положительности исходных аргументов.

k\log_a u=\log_a(u^k)

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Исходное уравнение

\begin{gathered}1+\log_5(2x+17)\\=2\log_5(x+1)\end{gathered}

Запишем ОДЗ

Оба аргумента положительны; более сильное условие даёт второй логарифм.

2x+17>0

x+1>0

x>-1

Объединим логарифмы

Единицу представим логарифмом пяти, а коэффициент 2 перенесём в показатель степени.

1=\log_5 5

\log_5\bigl(5(2x+17)\bigr)

=\log_5\bigl((x+1)^2\bigr)

Решим квадратное уравнение

На ОДЗ приравниваем аргументы, раскрываем скобки и раскладываем на множители.

5(2x+17)=(x+1)^2

x^2-8x-84=0

(x-14)(x+6)=0

x=14\ \text{или}\ x=-6

Отберём и проверим корень

Число −6 нарушает ОДЗ. При x = 14 оба аргумента положительны и равенство выполняется. В исходном уравнении остался только один корень.

2\cdot14+17=45>0

14+1=15>0

5\cdot45=15^2=225

Ответ

x=14

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Основное свойство
Перед применением формулы логарифма степени сохраняем строгое условие положительности исходных аргументов.
$k\log_a u=\log_a(u^k)$
Допустимые значения
Ограничения проверяются в исходном уравнении и сохраняются при преобразованиях.
$x>-1$
Проверка результата
Подстановка должна давать определённые и равные значения обеих частей.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Главная ловушка
Корень квадратного уравнения, обращающий исходный аргумент логарифма в ноль или отрицательное число, не подходит.
Выбор ответа
Сначала найдите и проверьте все корни, затем выполните указание о большем или меньшем корне.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Ограничения учтены
Найденный корень принадлежит области допустимых значений.
$x>-1$
Подстановка выполнена
В последнем шаге обе части исходного равенства проверены.
Ответ выбран
Записан нужный допустимый корень без округления.
$x=14$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №7Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите корень уравнения 1+log5​(2x+17) =2log5​(x+1). Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из корней.