Задание 68 из 69Логарифмические уравненияЯщенко · вариант 35

Линия №7

Решите уравнение $lo g_{5} (2 x + 3)$ $= lo g_{0, 2} (x + 1)$ . Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Источник: Ященко

Ответ:

Показать ответ

Ответ: -0,5

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Приведём логарифмы к одному основанию, сохраним ОДЗ и решим полученное квадратное уравнение.

\log_5(2x+3)=\log_{0{,}2}(x+1)

Ключевая идея:

Логарифмы по взаимно обратным основаниям отличаются знаком.

\log_{1/a}u=-\log_a u

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Исходное уравнение

\log_5(2x+3)=\log_{0{,}2}(x+1)

Запишем ОДЗ

Аргументы обоих логарифмов должны быть положительны. Берём пересечение ограничений.

2x+3>0

x+1>0

x>-1

Перейдём к основанию 5

Основание 0,2 равно 1/5, поэтому второй логарифм меняет знак. Переносим его влево и используем сумму логарифмов.

\log_{0{,}2}(x+1)=-\log_5(x+1)

\log_5\bigl((2x+3)(x+1)\bigr)=0

Решим квадратное уравнение

Логарифм равен нулю, когда его аргумент равен 1.

(2x+3)(x+1)=1

2x^2+5x+2=0

(2x+1)(x+2)=0

x=-\frac12\ \text{или}\ x=-2

Отберём и проверим корень

Число −2 нарушает ОДЗ. При x = −0,5 аргументы равны 2 и 0,5; логарифмы действительно равны. Это единственный корень исходного уравнения.

2(-0{,}5)+3=2>0

-0{,}5+1=0{,}5>0

\log_{0{,}2}0{,}5=\log_5 2

Ответ

x=-0{,}5

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Основное свойство
Логарифмы по взаимно обратным основаниям отличаются знаком.
$\log_{1/a}u=-\log_a u$
Допустимые значения
Ограничения проверяются в исходном уравнении и сохраняются при преобразованиях.
$x>-1$
Проверка результата
Подстановка должна давать определённые и равные значения обеих частей.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Главная ловушка
После преобразований обязательно исключите значения, при которых исходные логарифмы не определены.
Выбор ответа
Сначала найдите и проверьте все корни, затем выполните указание о большем или меньшем корне.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Ограничения учтены
Найденный корень принадлежит области допустимых значений.
$x>-1$
Подстановка выполнена
В последнем шаге обе части исходного равенства проверены.
Ответ выбран
Записан нужный допустимый корень без округления.
$x=-0{,}5$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №7Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Решите уравнение log5​(2x+3) =log0,2​(x+1). Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из корней.