Задание 44 из 69Иррациональные уравненияЯщенко · вариант 11

Линия №7

Найдите корень уравнения $15 x$ $= 1 \frac{2}{3} x$ . Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Источник: Ященко

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 5,4

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Запишем смешанное число неправильной дробью. Возведём в квадрат и решим уравнение, не теряя нулевой корень.

\sqrt{15x}=1\frac23x

Ключевая идея:

Нельзя сразу делить на x: ноль может быть корнем. Вынесение x за скобки сохраняет оба случая.

uv=0\iff u=0\ \text{или}\ v=0

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Исходное уравнение

\sqrt{15x}=1\frac23x

Укажем ОДЗ и преобразуем коэффициент

Подкоренное выражение неотрицательно только при x ≥ 0. Тогда правая часть также неотрицательна.

x\ge0

1\frac23=\frac53

Возведём в квадрат

Квадрат произведения равен произведению квадратов.

15x=\frac{25}{9}x^2

25x^2-135x=0

Найдём корни без деления на x

Вынесем x за скобки. Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю.

x(25x-135)=0

x=0

x=\frac{27}{5}=5{,}4

Проверим и выберем больший

При x = 0 обе части равны нулю. Второй корень положителен, также подходит и является большим.

\sqrt{15\cdot 5{,}4}=9

\frac{5}{3}\cdot 5{,}4=9

x_{\max}=5{,}4

Ответ

x=5{,}4

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Основное свойство
Нельзя сразу делить на x: ноль может быть корнем. Вынесение x за скобки сохраняет оба случая.
$uv=0\iff u=0\ \text{или}\ v=0$
Допустимые значения
Ограничения проверяются в исходном уравнении и сохраняются при преобразованиях.
$x\ge0$
Проверка результата
Подстановка должна давать определённые и равные значения обеих частей.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Главная ловушка
Смешанное число — это сумма целой и дробной частей. При делении на x можно потерять корень x = 0.
Выбор ответа
Сначала найдите и проверьте все корни, затем выполните указание о большем или меньшем корне.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Ограничения учтены
Найденный корень принадлежит области допустимых значений.
$x\ge0$
Подстановка выполнена
В последнем шаге обе части исходного равенства проверены.
Ответ выбран
Записан нужный допустимый корень без округления.
$x=5{,}4$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №7Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите корень уравнения 15x​ =132​x. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из корней.