Задание 57 из 69Степенные уравненияЯщенко · вариант 24

Линия №7

Найдите корень уравнения $(5 - x^{2})^{4}$ $= 256$ . Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Источник: Ященко

Ответ:

Показать ответ

Ответ: -3

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Сначала найдём возможные значения выражения в скобках, затем решим квадратные уравнения и выберем наименьший корень.

(5-x^2)^4=256

Ключевая идея:

Чётная степень не сохраняет знак основания. Равенству u⁴ = 256 соответствуют оба значения u = 4 и u = −4.

u^4=256\iff u=\pm4

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Исходное уравнение

(5-x^2)^4=256

Укажем область определения

Многочлен определён при всех действительных x.

x\in\mathbb R

Учтём оба знака

Четвёртые степени 4 и −4 равны 256. Поэтому необходимо рассмотреть два случая.

5-x^2=4\ \text{или}\ 5-x^2=-4

Решим оба квадратных уравнения

Первый случай даёт квадраты, равные 1, второй — квадраты, равные 9.

x^2=1\Longrightarrow x=\pm1

x^2=9\Longrightarrow x=\pm3

Проверим и выберем меньший

Все четыре корня допустимы. Наименьший из них равен −3.

(5-1)^4=4^4=256

(5-9)^4=(-4)^4=256

x_{\min}=-3

Ответ

x=-3

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Основное свойство
Чётная степень не сохраняет знак основания. Равенству u⁴ = 256 соответствуют оба значения u = 4 и u = −4.
$u^4=256\iff u=\pm4$
Допустимые значения
Ограничения проверяются в исходном уравнении и сохраняются при преобразованиях.
$x\in\mathbb R$
Проверка результата
Подстановка должна давать определённые и равные значения обеих частей.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Главная ловушка
Если учесть только 5 − x² = 4, будут потеряны корни ±3 и получится неверный меньший корень.
Выбор ответа
Сначала найдите и проверьте все корни, затем выполните указание о большем или меньшем корне.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Ограничения учтены
Найденный корень принадлежит области допустимых значений.
$x\in\mathbb R$
Подстановка выполнена
В последнем шаге обе части исходного равенства проверены.
Ответ выбран
Записан нужный допустимый корень без округления.
$x=-3$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №7Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите корень уравнения (5−x2)4 =256. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из корней.