Задание 65 из 69Логарифмические уравненияЯщенко · вариант 32

Линия №7

Найдите корень уравнения $2^{l o g_{16} (5 x + 4)}$ $= 5$ .

Источник: Ященко

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 124,2

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Согласуем основание степени и основание логарифма. Для этого возведём обе части в подходящую целую степень.

2^{\log_{16}(5x+4)}=5

Ключевая идея:

После возведения в степень внешнее основание совпадёт с основанием логарифма. Тогда работает основное логарифмическое тождество.

a^{\log_a u}=u\quad(u>0)

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Исходное уравнение

2^{\log_{16}(5x+4)}=5

Запишем ОДЗ

Аргумент логарифма должен быть строго положительным.

5x+4>0

x>\frac{-4}{5}

Согласуем основания

Возведём обе положительные части в степень 4. На положительных числах это равносильное преобразование.

\left(2^{\log_{16}(5x+4)}\right)^4=5^4

16^{\log_{16}(5x+4)}=625

Применим тождество и найдём x

На ОДЗ степень и логарифм с одинаковым основанием взаимно обратны.

5x+4=625

5x=621

x=124{,}2

Проверим

Аргумент положителен. Запишем полученный аргумент как степень числа справа и проверим исходное равенство.

5\cdot 124{,}2+4=5^4>0

\log_{16}(5^4)=\log_25

2^{\log_25}=5

Ответ

x=124{,}2

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Основное свойство
После возведения в степень внешнее основание совпадёт с основанием логарифма. Тогда работает основное логарифмическое тождество.
$a^{\log_a u}=u\quad(u>0)$
Допустимые значения
Ограничения проверяются в исходном уравнении и сохраняются при преобразованиях.
$x>\frac{-4}{5}$
Проверка результата
Подстановка должна давать определённые и равные значения обеих частей.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Главная ловушка
Нельзя сразу сократить степень и логарифм с разными основаниями: сначала согласуйте их.
Выбор ответа
Ответом является значение x, а не промежуточное значение выражения.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Ограничения учтены
Найденный корень принадлежит области допустимых значений.
$x>\frac{-4}{5}$
Подстановка выполнена
В последнем шаге обе части исходного равенства проверены.
Ответ выбран
Записан нужный допустимый корень без округления.
$x=124{,}2$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №7Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите корень уравнения 2log16​(5x+4) =5.