Задание 42 из 69Иррациональные уравненияЯщенко · вариант 9

Линия №7

Найдите корень уравнения $18 x^{2} - 81$ $= x^{2}$ . Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Источник: Ященко

Ответ:

Показать ответ

Ответ: -3

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Возведём обе неотрицательные части в квадрат и узнаем полный квадрат. Затем проверим оба корня.

\sqrt{18x^2-81}=x^2

Ключевая идея:

Правая часть x² неотрицательна. После возведения в квадрат удобно использовать замену t = x² или формулу квадрата разности.

(u-v)^2=u^2-2uv+v^2

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Исходное уравнение

\sqrt{18x^2-81}=x^2

Укажем ОДЗ и знак правой части

Подкоренное выражение неотрицательно; x² также неотрицательно.

18x^2-81\ge0

x^2\ge \frac{9}{2}

Возведём в квадрат

На ОДЗ обе части неотрицательны, поэтому возведение в квадрат равносильно.

18x^2-81=x^4

x^4-18x^2+81=0

(x^2-9)^2=0

Найдём оба корня

Квадрат равен нулю, только когда его основание равно нулю.

x^2=9

x=-3\ \text{или}\ x=3

Проверим и выберем меньший

Оба значения дают одинаковые квадраты и удовлетворяют исходному уравнению. Записываем отрицательный корень.

\sqrt{18\cdot9-81}=9

x^2=9

x_{\min}=-3

Ответ

x=-3

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Основное свойство
Правая часть x² неотрицательна. После возведения в квадрат удобно использовать замену t = x² или формулу квадрата разности.
$(u-v)^2=u^2-2uv+v^2$
Допустимые значения
Ограничения проверяются в исходном уравнении и сохраняются при преобразованиях.
$x^2\ge \frac{9}{2}$
Проверка результата
Подстановка должна давать определённые и равные значения обеих частей.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Главная ловушка
Из x² = a² следуют два корня: x = −a и x = a. В ответ нужен меньший.
Выбор ответа
Сначала найдите и проверьте все корни, затем выполните указание о большем или меньшем корне.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Ограничения учтены
Найденный корень принадлежит области допустимых значений.
$x^2\ge \frac{9}{2}$
Подстановка выполнена
В последнем шаге обе части исходного равенства проверены.
Ответ выбран
Записан нужный допустимый корень без округления.
$x=-3$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №7Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите корень уравнения 18x2−81​ =x2. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из корней.