Задание 51 из 69Логарифмические уравненияЯщенко · вариант 18

Линия №7

Найдите корень уравнения $2 lo g_{3} (x + 2)$ $= 1 + lo g_{3} (4 x + 8)$ . Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Источник: Ященко

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 10

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Запишем ОДЗ, объединим логарифмы и решим полученное квадратное уравнение.

\begin{gathered}2\log_3(x+2)\\=1+\log_3(4x+8)\end{gathered}

Ключевая идея:

Перед применением формулы логарифма степени сохраняем строгое условие положительности исходных аргументов.

k\log_a u=\log_a(u^k)

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Исходное уравнение

\begin{gathered}2\log_3(x+2)\\=1+\log_3(4x+8)\end{gathered}

Запишем ОДЗ

Аргументы обоих логарифмов должны быть строго положительными. Оба условия дают одно ограничение.

x+2>0

4x+8>0

x>-2

Объединим логарифмы

Единицу представим логарифмом трёх, а коэффициент 2 перенесём в показатель степени.

1=\log_3 3

\log_3\bigl((x+2)^2\bigr)

=\log_3\bigl(3(4x+8)\bigr)

Решим квадратное уравнение

На ОДЗ равенство логарифмов равносильно равенству аргументов.

(x+2)^2=3(4x+8)

x^2-8x-20=0

(x-10)(x+2)=0

x=10\ \text{или}\ x=-2

Отберём и проверим корень

При x = −2 аргументы равны нулю, логарифмы не определены. При x = 10 все ограничения выполнены; это единственный корень исходного уравнения.

10+2=12>0

4\cdot10+8=48>0

12^2=3\cdot48=144

Ответ

x=10

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Основное свойство
Перед применением формулы логарифма степени сохраняем строгое условие положительности исходных аргументов.
$k\log_a u=\log_a(u^k)$
Допустимые значения
Ограничения проверяются в исходном уравнении и сохраняются при преобразованиях.
$x>-2$
Проверка результата
Подстановка должна давать определённые и равные значения обеих частей.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Главная ловушка
Корень квадратного уравнения, обращающий исходный аргумент логарифма в ноль или отрицательное число, не подходит.
Выбор ответа
Сначала найдите и проверьте все корни, затем выполните указание о большем или меньшем корне.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Ограничения учтены
Найденный корень принадлежит области допустимых значений.
$x>-2$
Подстановка выполнена
В последнем шаге обе части исходного равенства проверены.
Ответ выбран
Записан нужный допустимый корень без округления.
$x=10$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №7Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите корень уравнения 2log3​(x+2) =1+log3​(4x+8). Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из корней.