Задание 69 из 69Логарифмические уравненияЯщенко · вариант 36

Линия №7

Решите уравнение $lo g_{2} (x + 5)$ $= lo g_{4} (1 - x)$ . Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Источник: Ященко

Ответ:

Показать ответ

Ответ: -3

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Приведём логарифмы к одному основанию, сохраним ОДЗ и решим полученное квадратное уравнение.

\log_2(x+5)=\log_4(1-x)

Ключевая идея:

При переходе от основания 4 к основанию 2 возникает коэффициент 1/2.

\log_4 u=\frac12\log_2 u

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Исходное уравнение

\log_2(x+5)=\log_4(1-x)

Запишем ОДЗ

Аргументы обоих логарифмов должны быть строго положительными.

x+5>0

1-x>0

-5<x<1

Перейдём к основанию 2

Основание 4 равно 2². Умножим обе части на 2, затем перенесём коэффициент в показатель степени аргумента.

2\log_2(x+5)=\log_2(1-x)

\log_2\bigl((x+5)^2\bigr)

=\log_2(1-x)

Решим квадратное уравнение

На ОДЗ приравняем аргументы и раскроем скобки.

(x+5)^2=1-x

x^2+11x+24=0

(x+3)(x+8)=0

x=-3\ \text{или}\ x=-8

Отберём и проверим корень

Число −8 нарушает ОДЗ. При x = −3 оба логарифма определены и равны 1. Это единственный корень исходного уравнения.

-3+5=2>0

1-(-3)=4>0

\log_2 2=\log_4 4=1

Ответ

x=-3

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Основное свойство
При переходе от основания 4 к основанию 2 возникает коэффициент 1/2.
$\log_4 u=\frac12\log_2 u$
Допустимые значения
Ограничения проверяются в исходном уравнении и сохраняются при преобразованиях.
$-5<x<1$
Проверка результата
Подстановка должна давать определённые и равные значения обеих частей.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Главная ловушка
После преобразований обязательно исключите значения, при которых исходные логарифмы не определены.
Выбор ответа
Сначала найдите и проверьте все корни, затем выполните указание о большем или меньшем корне.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Ограничения учтены
Найденный корень принадлежит области допустимых значений.
$-5<x<1$
Подстановка выполнена
В последнем шаге обе части исходного равенства проверены.
Ответ выбран
Записан нужный допустимый корень без округления.
$x=-3$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №7Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Решите уравнение log2​(x+5) =log4​(1−x). Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из корней.