Задание 64 из 69Логарифмические уравненияЯщенко · вариант 31

Линия №7

Найдите корень уравнения $3^{l o g_{27} (8 x + 4)}$ $= 4$ .

Источник: Ященко

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 7,5

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Согласуем основание степени и основание логарифма. Для этого возведём обе части в подходящую целую степень.

3^{\log_{27}(8x+4)}=4

Ключевая идея:

После возведения в степень внешнее основание совпадёт с основанием логарифма. Тогда работает основное логарифмическое тождество.

a^{\log_a u}=u\quad(u>0)

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Исходное уравнение

3^{\log_{27}(8x+4)}=4

Запишем ОДЗ

Аргумент логарифма должен быть строго положительным.

8x+4>0

x>\frac{-1}{2}

Согласуем основания

Возведём обе положительные части в степень 3. На положительных числах это равносильное преобразование.

\left(3^{\log_{27}(8x+4)}\right)^3=4^3

27^{\log_{27}(8x+4)}=64

Применим тождество и найдём x

На ОДЗ степень и логарифм с одинаковым основанием взаимно обратны.

8x+4=64

8x=60

x=7{,}5

Проверим

Аргумент положителен. Запишем полученный аргумент как степень числа справа и проверим исходное равенство.

8\cdot 7{,}5+4=4^3>0

\log_{27}(4^3)=\log_34

3^{\log_34}=4

Ответ

x=7{,}5

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Основное свойство
После возведения в степень внешнее основание совпадёт с основанием логарифма. Тогда работает основное логарифмическое тождество.
$a^{\log_a u}=u\quad(u>0)$
Допустимые значения
Ограничения проверяются в исходном уравнении и сохраняются при преобразованиях.
$x>\frac{-1}{2}$
Проверка результата
Подстановка должна давать определённые и равные значения обеих частей.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Главная ловушка
Нельзя сразу сократить степень и логарифм с разными основаниями: сначала согласуйте их.
Выбор ответа
Ответом является значение x, а не промежуточное значение выражения.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Ограничения учтены
Найденный корень принадлежит области допустимых значений.
$x>\frac{-1}{2}$
Подстановка выполнена
В последнем шаге обе части исходного равенства проверены.
Ответ выбран
Записан нужный допустимый корень без округления.
$x=7{,}5$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №7Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите корень уравнения 3log27​(8x+4) =4.