Задание 78 из 82Движение и квадратичные моделиЯщенко · вариант 32

Линия №10

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону $H (t) = H_{0} - 2 g H_{0} k t + \frac{g}{2} k^{2} t^{2}$ , где $t$ — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, $H_{0} = 20$ м — начальная высота столба воды, $k = \frac{1}{200}$ — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а $g$ — ускорение свободного падения (считайте $g = 10$ м/с²). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объёма воды?

Источник: Ященко

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 200

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

В цилиндрическом баке объём пропорционален высоте. Поэтому четверть объёма означает высоту H₀/4. Квадратичная формула действует только до опустошения бака.

Ключевая формула

H(t)=\frac{H_0}{4}

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Нужно найти: время вытекания трёх четвертей воды из бака.

План решения: В цилиндрическом баке объём пропорционален высоте. Поэтому четверть объёма означает высоту H₀/4. Квадратичная формула действует только до опустошения бака.

Шаг 1. Перейдём от объёма к высоте

Площадь сечения цилиндра постоянна. Уменьшение объёма в четыре раза означает такое же уменьшение высоты.

H(t)=\frac{20}{4}=5{,}0

Шаг 2. Свернём выражение в квадрат

Подставим параметры и узнаем полный квадрат. Вода убывает до момента, когда этот квадрат впервые становится нулём.

\sqrt{2\cdot10\cdot20}=20

H(t)=20\left(1-\frac{t}{400}\right)^2

Шаг 3. Решим уравнение на рабочем промежутке

Бак опустеет при t = 400 с. До этого момента выражение в скобках неотрицательно, поэтому для четверти высоты оно равно 1/2.

0\le t\le 400

1-\frac{t}{400}=\frac12

Шаг 4. Найдём время и отбросим лишний корень

Получаем половину времени полного опустошения. Второй алгебраический корень 600 с лежит после опустошения и физического смысла не имеет.

t=\frac{400}{2}=200\ \text{с}

Ответ:

200

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Основное правило
В цилиндрическом баке объём пропорционален высоте. Поэтому четверть объёма означает высоту H₀/4. Квадратичная формула действует только до опустошения бака.
$H(t)=\frac{H_0}{4}$
Единицы и ограничения
Время в исходной формуле и в ответе измеряется в секундах.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

На что обратить внимание
Не выбирайте второй корень квадратного уравнения: после опустошения эта модель вытекания уже не применяется.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Данные и единицы
Сверьте числа и обозначения с условием. Время в исходной формуле и в ответе измеряется в секундах.
Смысл результата
При t = 200 с высота равна 5,0 м; это четверть первоначальной высоты и объёма.

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №10Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена