Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием $f = 54$ см. Расстояние $d_{1}$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 75 до 105 см, а расстояние $d_{2}$ от линзы до экрана — в пределах от 105 до 135 см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение $\frac{1}{d _{1}} + \frac{1}{d _{2}} = \frac{1}{f}$ . Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким. Ответ дайте в сантиметрах.

Источник: Ященко

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 90

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Выразим расстояние до лампочки через расстояние до экрана. При увеличении d₂ расстояние d₁ уменьшается; затем проверим ограничения обоих расстояний.

Ключевая формула

d_1=\frac{fd_2}{d_2-f}

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Нужно найти: расстояние от линзы до лампочки.

План решения: Выразим расстояние до лампочки через расстояние до экрана. При увеличении d₂ расстояние d₁ уменьшается; затем проверим ограничения обоих расстояний.

Шаг 1. Выразим искомое расстояние

Перенесём 1/d₂ вправо и приведём дроби к общему знаменателю.

\frac{1}{d_1}=\frac{d_2-f}{fd_2}

d_1=f+\frac{f^2}{d_2-f}

Шаг 2. Выберем границу для экрана

Чтобы d₁ было наименьшим, выбираем наибольшее d₂. Все допустимые d₂ больше f, так что знаменатель положителен.

d_2=135\ \text{см}

Шаг 3. Вычислим и проверим ограничения

Полученное расстояние до лампочки входит в разрешённый промежуток; расстояние до экрана также допустимо.

d_1=\frac{54\cdot135}{135-54}=90

75\le 90\le 105

Ответ:

90

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Основное правило
Выразим расстояние до лампочки через расстояние до экрана. При увеличении d₂ расстояние d₁ уменьшается; затем проверим ограничения обоих расстояний.
$d_1=\frac{fd_2}{d_2-f}$
Единицы и ограничения
Все длины даны в сантиметрах; d₂ > f, поэтому деление допустимо.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

На что обратить внимание
Нельзя брать крайнее значение d₁ из условия без проверки формулы и допустимого расстояния до экрана.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Данные и единицы
Сверьте числа и обозначения с условием. Все длины даны в сантиметрах; d₂ > f, поэтому деление допустимо.
Смысл результата
Подставьте оба расстояния в формулу тонкой линзы и проверьте заданные границы.

Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №10

Все задания линии №10 →

Геометрические и физические формулыРасстояние от линзы до лампочкиЗадание 202710007 Геометрические и физические формулыВысота подъёма для увеличения дальности горизонтаЗадание 202710013 Геометрические и физические формулыВысота подъёма для увеличения дальности горизонтаЗадание 202710014 Геометрические и физические формулыМаксимальное ребро кубического подводного аппаратаЗадание 202710029 Геометрические и физические формулыМаксимальный радиус сферического подводного аппаратаЗадание 202710030 Задачи с прикладным содержаниемДля сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель…FIPI ID 622297

Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №10Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена