Задание 56 из 82Колебания и тригонометрияЯщенко · вариант 10

Линия №10

Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону $v (t) = 23 sin \frac{π t}{4}$ (см/с), где $t$ — время в секундах. Какую долю времени из первых 2,5 секунд скорость движения не превышала 3 см/с? Ответ выразите десятичной дробью, при необходимости округлите до сотых.

Источник: Ященко

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 0,53

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Сначала найдём часть заданного промежутка, где выполняется тригонометрическое неравенство. Искомая доля равна длительности этой части, делённой на всё время наблюдения.

Ключевая формула

\sin\frac{\pi t}{4}\le \frac{\sqrt{3}}{2}

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Нужно найти: доля времени с ограниченной скоростью колебаний.

План решения: Сначала найдём часть заданного промежутка, где выполняется тригонометрическое неравенство. Искомая доля равна длительности этой части, делённой на всё время наблюдения.

Шаг 1. Сократим амплитуду

Разделим ограничение скорости на положительный множитель перед синусом.

2\sqrt{3}\sin\frac{\pi t}{4}\le 3

\sin\frac{\pi t}{4}\le \frac{\sqrt{3}}{2}

Шаг 2. Найдём моменты пересечения уровня

В первой положительной полуволне синус достигает порогового значения дважды: при остром угле и при дополнительном к нему.

\frac{\pi t_1}{4}=\frac{\pi}{3}

t_1=\frac{4}{3},\quad t_2=\frac{8}{3}

Шаг 3. Учтём время наблюдения

Второй момент находится за пределами наблюдения. Поэтому условие выполнено только от начала до первого пересечения; между пересечениями скорость больше порога.

t\in[0;\frac{4}{3}]

t_2>2{,}5

Шаг 4. Вычислим долю и округлим

Делим длительность подходящего промежутка на общее время и округляем только окончательный результат до сотых.

\frac{\frac{4}{3}}{2{,}5}=\frac{8}{15}

\frac{8}{15}\approx 0{,}53

Ответ:

0{,}53

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Основное правило
Сначала найдём часть заданного промежутка, где выполняется тригонометрическое неравенство. Искомая доля равна длительности этой части, делённой на всё время наблюдения.
$\sin\frac{\pi t}{4}\le \frac{\sqrt{3}}{2}$
Единицы и ограничения
Время измеряется в секундах; доля времени — безразмерная величина.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

На что обратить внимание
Не записывайте время первого пересечения вместо доли и не добавляйте часть периода за пределами наблюдения.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Данные и единицы
Сверьте числа и обозначения с условием. Время измеряется в секундах; доля времени — безразмерная величина.
Смысл результата
Проверьте, что получилась доля от 0 до 1, а не число секунд. Округление выполнено до сотых.

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №10Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена