Уточнение о начале работы стоит перед сказуемым «были опубликованы». Проверим, что закрываем его после даты, а не сразу после союзного слова.
Шаг 1. Найдём грамматические основы и части предложения
Основы: «записи были опубликованы» и «работа началась». Придаточное относится к исследованию «Врачебное дело в России».
Шаг 2. Проверим каждую цифру
(1) — ставим запятую
…исследованию «Врачебное дело в России» (1) работа над которым началась в…
Придаточное «работа над которым началась в 1884 году» выделяем с двух сторон: на местах (1) и (3). После него вновь говорится о публикации чеховских записей.
(2) — без запятой
…в России» работа над которым (2) началась в 1884 году были…
Сочетание «работа над которым» вместе со сказуемым «началась» образует одну придаточную часть. Внутри этой связи запятая не нужна.
(3) — ставим запятую
…которым началась в 1884 году (3) были опубликованы только после смерти…
Придаточное «работа над которым началась в 1884 году» выделяем с двух сторон: на местах (1) и (3). После него вновь говорится о публикации чеховских записей.
Текст с запятыми на указанных местах
Чеховские записи к исследованию «Врачебное дело в России», работа над которым началась в 1884 году, были опубликованы только после смерти писателя.
Шаг 3. Запишем ответ
Запятые нужны на местах (1), (3). Места (2) оставляем без запятых по разобранным связям. Записываем цифры подряд без повторов и разделителей: 13.
Ответ:13
ФИПИ: навигатор по пунктуации