Слово «судьба» начинает отдельное сообщение о королеве. После слова «поэтов» это сообщение заканчивается и продолжается главная мысль о Дашковой.
Шаг 1. Найдём грамматические основы и части предложения
Главная основа — «соседство заставляло»; придаточная — «судьба воспламеняла». Придаточное поясняет королеву.
Шаг 2. Проверим каждую цифру
(1) — ставим запятую
…Соседство с комнатами несчастной королевы (1) судьба которой воспламеняла воображение гениальнейших…
«Судьба которой воспламеняла воображение гениальнейших поэтов» — вставленное придаточное к слову «королевы». Нужны запятые на местах (1) и (4).
(2) — без запятой
…с комнатами несчастной королевы судьба (2) которой воспламеняла воображение гениальнейших поэтов…
«Судьба которой» — сочетание со значением «судьба королевы». Запятой между его словами нет.
(3) — без запятой
…комнатами несчастной королевы судьба которой (3) воспламеняла воображение гениальнейших поэтов нередко…
Подлежащее «судьба» связано со сказуемым «воспламеняла». После «которой» придаточное продолжается.
(4) — ставим запятую
…которой воспламеняла воображение гениальнейших поэтов (4) нередко заставляло Дашкову думать о…
«Судьба которой воспламеняла воображение гениальнейших поэтов» — вставленное придаточное к слову «королевы». Нужны запятые на местах (1) и (4).
Текст с запятыми на указанных местах
Соседство с комнатами несчастной королевы, судьба которой воспламеняла воображение гениальнейших поэтов, нередко заставляло Дашкову думать о бренности земного величия.
Шаг 3. Запишем ответ
Запятые нужны на местах (1), (4). Места (2), (3) оставляем без запятых по разобранным связям. Записываем цифры подряд без повторов и разделителей: 14.
Ответ:14
ФИПИ: навигатор по пунктуации