Особенно проверим место перед «и узнать»: там заканчивается вопрос «какой это маяк». Запятая нужна для закрытия вложенного придаточного, а не из-за союза между действиями.
Шаг 1. Найдём грамматические основы и части предложения
Главная основа — «вахтенные и штурвальные смотрят». Далее: «маяки горят и мигают»; цель — «можно было определить и узнать»; каждый инфинитив имеет свой косвенный вопрос.
Шаг 2. Проверим каждую цифру
(1) — ставим запятую
…смотрят только вахтенные и штурвальные (1) потому что все маяки на…
«Потому что все маяки ... горят и мигают по-разному» объясняет причину пристального внимания. Перед цельным союзом «потому что» нужна запятая.
(2) — без запятой
…вахтенные и штурвальные потому что (2) все маяки на одном и…
После «потому что» продолжается его придаточная часть с подлежащим «маяки». Союз от подлежащего запятой не отделяем.
(3) — ставим запятую
…море горят и мигают по-разному (3) чтобы по этим признакам можно…
«Чтобы по этим признакам можно было определить ... и узнать ...» — придаточное цели. Перед «чтобы» ставим запятую.
(4) — без запятой
…горят и мигают по-разному чтобы (4) по этим признакам можно было…
«По этим признакам» входит в придаточное с «чтобы». После союза дополнительной запятой нет.
(5) — ставим запятую
…этим признакам можно было определить (5) какой это маяк и узнать…
«Какой это маяк» раскрывает содержание «определить». Перед вложенным изъяснительным придаточным ставим запятую.
(6) — ставим запятую
…было определить какой это маяк (6) и узнать где находится корабль.…
Перед «и узнать» заканчивается придаточное «какой это маяк». Запятая закрывает его; «и» соединяет инфинитивы «определить» и «узнать» в придаточном цели.
(7) — ставим запятую
…какой это маяк и узнать (7) где находится корабль.…
«Где находится корабль» раскрывает содержание «узнать». Перед этим изъяснительным придаточным нужна запятая.
Текст с запятыми на указанных местах
На огни маяков пристально смотрят только вахтенные и штурвальные, потому что все маяки на одном и том же море горят и мигают
по-разному, чтобы по этим признакам можно было определить, какой это маяк, и узнать, где находится корабль.
Шаг 3. Запишем ответ
Запятые нужны на местах (1), (3), (5), (6), (7). Места (2), (4) оставляем без запятых по разобранным связям. Записываем цифры подряд без повторов и разделителей: 13567.
Ответ:13567
ФИПИ: навигатор по пунктуации