В начале предложения вложены два придаточных. Первое объясняет цель, второе — что именно нужно понять; обе части заканчиваются перед «необходимо».
Шаг 1. Найдём грамматические основы и части предложения
Главная часть — «необходимо заглянуть». Перед ней находится придаточное цели «чтобы понять», а содержание «понять» раскрывается частью «в каких ... сферах происходило ... общение».
Шаг 2. Проверим каждую цифру
(1) — без запятой
…Чтобы (1) понять в каких эмоциональных и…
«Чтобы понять» — сочетание союза и инфинитива в одной придаточной части цели. После «чтобы» запятую не ставим.
(2) — ставим запятую
…Чтобы понять (2) в каких эмоциональных и интеллектуальных…
После «понять» начинается изъяснительное придаточное: понять что? — в каких сферах происходило общение. Нужна запятая перед всем сочетанием «в каких ... сферах».
(3) — без запятой
…Чтобы понять в каких (3) эмоциональных и интеллектуальных сферах происходило…
«В каких эмоциональных и интеллектуальных сферах» — единая группа слов. После местоимения «каких» границы придаточного нет.
(4) — ставим запятую
…годы общение с царскосельскими садами (4) необходимо заглянуть в чрезвычайно сложную…
Перед «необходимо заглянуть» заканчивается начальное придаточное цели вместе с вложенным пояснением. Одна запятая отделяет весь этот блок от главной части.
Текст с запятыми на указанных местах
Чтобы понять, в каких эмоциональных и интеллектуальных сферах происходило у Пушкина в его лицейские годы общение с царскосельскими садами, необходимо заглянуть в чрезвычайно сложную и слабо у нас известную область садово-паркового искусства.
Шаг 3. Запишем ответ
Запятые нужны на местах (2), (4). Места (1), (3) оставляем без запятых по разобранным связям. Записываем цифры подряд без повторов и разделителей: 24.
Ответ:24
ФИПИ: навигатор по пунктуации