Задание 7 из 51Вычисления и преобразования

Линия №8 · Базовый уровень

Найдите значение выражения $(6 4^{9})^{3} : (1 6^{5})^{8}$ .

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 0E5270

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 4

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Оба основания являются степенями двойки, но сначала нужно учесть внешние степени.

\dfrac{(64^9)^3}{(16^5)^8}

Ключевая идея:

Перепишем 64 = 2⁶ и 16 = 2⁴, перемножим все показатели в числителе и знаменателе.

64=2^6,\qquad16=2^4

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно это выражение: последовательно выберем формулу, выполним точные преобразования и проверим результат.

Дано:

\dfrac{(64^9)^3}{(16^5)^8}

Нужно найти: значение данного выражения.

План решения: Перепишем 64 = 2⁶ и 16 = 2⁴, перемножим все показатели в числителе и знаменателе.

Поясняющая формула для этой задачи

((a^m)^n)^p=a^{mnp}

Каждый внешний показатель последовательно умножается на показатель основания.

Шаг 1. Разберём структуру выражения

Оба основания являются степенями двойки, но сначала нужно учесть внешние степени. Сначала фиксируем исходную запись и выбираем преобразование, которое выполняется точно, без приближённых вычислений.

\dfrac{(64^9)^3}{(16^5)^8}

64=2^6,\qquad16=2^4

Шаг 2. Найдём показатели числителя и знаменателя

В числителе перемножаем 6, 9 и 3; в знаменателе — 4, 5 и 8.

(64^9)^3=((2^6)^9)^3=2^{6\cdot9\cdot3}=2^{162}

(16^5)^8=((2^4)^5)^8=2^{4\cdot5\cdot8}=2^{160}

Шаг 3. Разделим степени двойки

Показатели отличаются на 2.

\dfrac{2^{162}}{2^{160}}=2^{162-160}=2^2

2^2=4

Шаг 4. Проверим вычисление и запишем ответ

6·9·3 = 162, 4·5·8 = 160; их разность равна 2.

6\cdot9\cdot3=162,\qquad4\cdot5\cdot8=160

2^{162-160}=4

Полученное значение совпадает с точной преобразованной записью. В ответ переносим число 4.

Ответ:

4

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Последовательное возведение степени в степень
Каждый внешний показатель последовательно умножается на показатель основания.
$((a^m)^n)^p=a^{mnp}$
Почему правило подходит именно здесь
Перепишем 64 = 2⁶ и 16 = 2⁴, перемножим все показатели в числителе и знаменателе.
$(64^9)^3=((2^6)^9)^3=2^{6\cdot9\cdot3}=2^{162}$
Точный числовой контроль
6·9·3 = 162, 4·5·8 = 160; их разность равна 2.
$2^{162-160}=4$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Потерять один из внешних показателей
В каждой части участвуют все три множителя показателя.
$6\cdot9\cdot3=162,\qquad4\cdot5\cdot8=160$
Вычесть основания 64 и 16
Сначала основания приводятся к двойке; вычитаются показатели 162 и 160.
$\dfrac{2^{162}}{2^{160}}=2^2$
Записать промежуточный результат вместо ответа
После преобразования нужно довести вычисление до числа 4 и перенести в поле ответа только это число.
$\boxed{4}$

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Исходные данные переписаны верно
Все показатели, корни, основания, углы и знаки совпадают с условием этой задачи.
$\dfrac{(64^9)^3}{(16^5)^8}$
Ключевое преобразование проверено
Перепишем 64 = 2⁶ и 16 = 2⁴, перемножим все показатели в числителе и знаменателе.
$(16^5)^8=((2^4)^5)^8=2^{4\cdot5\cdot8}=2^{160}$
Ответ получен точно
6·9·3 = 162, 4·5·8 = 160; их разность равна 2.
$\boxed{4}$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №8Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите значение выражения (649)3:(165)8.