Задание 47 из 51Вычисления и преобразования

Линия №8 · Базовый уровень

Найдите значение выражения $23 cos^{2} (\frac{13 π}{12}) - 3$ .

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 133372

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 1,5

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

После вынесения √3 в скобках получится точная формула 2cos²x − 1.

2\sqrt3\cos^2\dfrac{13\pi}{12}-\sqrt3

Ключевая идея:

Свернём 2cos²x − 1 в cos2x, затем приведём 13π/6 к π/6.

2\cos^2x-1=\cos2x

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно это выражение: последовательно выберем формулу, выполним точные преобразования и проверим результат.

Дано:

2\sqrt3\cos^2\dfrac{13\pi}{12}-\sqrt3

Нужно найти: значение данного выражения.

План решения: Свернём 2cos²x − 1 в cos2x, затем приведём 13π/6 к π/6.

Поясняющая формула для этой задачи

\cos2x=2\cos^2x-1

Форма 2cos²x − 1 подходит после вынесения общего множителя √3.

Шаг 1. Разберём структуру выражения

После вынесения √3 в скобках получится точная формула 2cos²x − 1. Сначала фиксируем исходную запись и выбираем преобразование, которое выполняется точно, без приближённых вычислений.

2\sqrt3\cos^2\dfrac{13\pi}{12}-\sqrt3

2\cos^2x-1=\cos2x

Шаг 2. Вынесем √3 и свернём скобку

Удвоенный угол для 13π/12 равен 13π/6.

\sqrt3\left(2\cos^2\dfrac{13\pi}{12}-1\right)=\sqrt3\cos\dfrac{13\pi}{6}

\cos\dfrac{13\pi}{6}=\cos\left(2\pi+\dfrac\pi6\right)=\dfrac{\sqrt3}{2}

Шаг 3. Перемножим корни

√3·√3 = 3.

\sqrt3\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac32=1{,}5

Шаг 4. Проверим вычисление и запишем ответ

cos(13π/6) = cos(π/6) положителен; 3/2 = 1,5.

\dfrac{13\pi}{6}-2\pi=\dfrac\pi6

\dfrac32=1{,}5

Полученное значение совпадает с точной преобразованной записью. В ответ переносим число 1,5.

Ответ:

1{,}5

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Косинус двойного угла через cos²x
Форма 2cos²x − 1 подходит после вынесения общего множителя √3.
$\cos2x=2\cos^2x-1$
Почему правило подходит именно здесь
Свернём 2cos²x − 1 в cos2x, затем приведём 13π/6 к π/6.
$\sqrt3\left(2\cos^2\dfrac{13\pi}{12}-1\right)=\sqrt3\cos\dfrac{13\pi}{6}$
Точный числовой контроль
cos(13π/6) = cos(π/6) положителен; 3/2 = 1,5.
$\dfrac32=1{,}5$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Вынести 2√3 из обоих слагаемых
Во втором слагаемом коэффициент только √3; общий множитель равен √3.
$2\sqrt3\cos^2x-\sqrt3=\sqrt3(2\cos^2x-1)$
Использовать 1 − 2sin²x без преобразования
Здесь уже прямо собрана эквивалентная форма 2cos²x − 1.
$2\cos^2x-1=\cos2x$
Записать промежуточный результат вместо ответа
После преобразования нужно довести вычисление до числа 1,5 и перенести в поле ответа только это число.
$\boxed{1{,}5}$

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Исходные данные переписаны верно
Все показатели, корни, основания, углы и знаки совпадают с условием этой задачи.
$2\sqrt3\cos^2\dfrac{13\pi}{12}-\sqrt3$
Ключевое преобразование проверено
Свернём 2cos²x − 1 в cos2x, затем приведём 13π/6 к π/6.
$\cos\dfrac{13\pi}{6}=\cos\left(2\pi+\dfrac\pi6\right)=\dfrac{\sqrt3}{2}$
Ответ получен точно
cos(13π/6) = cos(π/6) положителен; 3/2 = 1,5.
$\boxed{1{,}5}$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №8Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите значение выражения 23​cos2(1213π​)−3​.