Задание 2 из 51Вычисления и преобразования

Линия №8 · Базовый уровень

Найдите значение выражения $4^{\frac{1}{5}} \cdot 1 6^{\frac{9}{10}}$ .

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: C1F1E2

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 16

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Числа 4 и 16 являются степенями двойки.

4^{\frac15}\cdot16^{\frac9{10}}

Ключевая идея:

Перепишем 4 как 2², 16 как 2⁴ и приведём дробные показатели к знаменателю 5.

4=2^2,\qquad16=2^4

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно это выражение: последовательно выберем формулу, выполним точные преобразования и проверим результат.

Дано:

4^{\frac15}\cdot16^{\frac9{10}}

Нужно найти: значение данного выражения.

План решения: Перепишем 4 как 2², 16 как 2⁴ и приведём дробные показатели к знаменателю 5.

Поясняющая формула для этой задачи

(a^m)^n=a^{mn},\qquad a^p a^q=a^{p+q}

При возведении степени в степень показатели перемножаются, а при умножении степеней одного основания — складываются.

Шаг 1. Разберём структуру выражения

Числа 4 и 16 являются степенями двойки. Сначала фиксируем исходную запись и выбираем преобразование, которое выполняется точно, без приближённых вычислений.

4^{\frac15}\cdot16^{\frac9{10}}

4=2^2,\qquad16=2^4

Шаг 2. Перепишем основания через 2

Умножаем показатели внешних степеней на показатели 2 и 4.

4^{\frac15}=(2^2)^{\frac15}=2^{\frac25}

16^{\frac9{10}}=(2^4)^{\frac9{10}}=2^{\frac{36}{10}}=2^{\frac{18}{5}}

Шаг 3. Сложим дробные показатели

Оба показателя имеют знаменатель 5, поэтому складываем числители.

2^{\frac25}\cdot2^{\frac{18}{5}}=2^{\frac{2+18}{5}}=2^{\frac{20}{5}}=2^4

2^4=16

Шаг 4. Проверим вычисление и запишем ответ

Сумма показателей равна 4, а 2⁴ = 16.

\frac25+\frac{18}{5}=4

2^4=16

Полученное значение совпадает с точной преобразованной записью. В ответ переносим число 16.

Ответ:

16

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Степень степени и произведение степеней
При возведении степени в степень показатели перемножаются, а при умножении степеней одного основания — складываются.
$(a^m)^n=a^{mn},\qquad a^p a^q=a^{p+q}$
Почему правило подходит именно здесь
Перепишем 4 как 2², 16 как 2⁴ и приведём дробные показатели к знаменателю 5.
$4^{\frac15}=(2^2)^{\frac15}=2^{\frac25}$
Точный числовой контроль
Сумма показателей равна 4, а 2⁴ = 16.
$2^4=16$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Сложить дроби без общего знаменателя
Здесь знаменатели уже одинаковы; складываются только числители 2 и 18.
$\frac25+\frac{18}{5}=\frac{20}{5}=4$
Получить показатель 9/5 у числа 16
Основание 16 равно 2⁴, поэтому внешний показатель нужно умножить на 4.
$4\cdot\frac9{10}=\frac{18}{5}$
Записать промежуточный результат вместо ответа
После преобразования нужно довести вычисление до числа 16 и перенести в поле ответа только это число.
$\boxed{16}$

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Исходные данные переписаны верно
Все показатели, корни, основания, углы и знаки совпадают с условием этой задачи.
$4^{\frac15}\cdot16^{\frac9{10}}$
Ключевое преобразование проверено
Перепишем 4 как 2², 16 как 2⁴ и приведём дробные показатели к знаменателю 5.
$16^{\frac9{10}}=(2^4)^{\frac9{10}}=2^{\frac{36}{10}}=2^{\frac{18}{5}}$
Ответ получен точно
Сумма показателей равна 4, а 2⁴ = 16.
$\boxed{16}$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №8Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите значение выражения 451​⋅16109​.