Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
↪ВойтиЧерез VK ID
Меню
Задание 40 из 51Вычисления и преобразования
Линия №8 · Базовый уровень

Найдите значение выражения .

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 24F9AF

Показать ответ

Ответ: 4

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Угол 128° в знаменателе вдвое больше 64°.

8sin⁡64∘cos⁡64∘sin⁡128∘\dfrac{8\sin64^\circ\cos64^\circ}{\sin128^\circ}
Ключевая идея:

Заменим sin128° на 2sin64°cos64° и сократим одинаковое произведение.

sin⁡128∘=2sin⁡64∘cos⁡64∘\sin128^\circ=2\sin64^\circ\cos64^\circ
Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно это выражение: последовательно выберем формулу, выполним точные преобразования и проверим результат.

Дано:

8sin⁡64∘cos⁡64∘sin⁡128∘\dfrac{8\sin64^\circ\cos64^\circ}{\sin128^\circ}

Нужно найти: значение данного выражения.

План решения: Заменим sin128° на 2sin64°cos64° и сократим одинаковое произведение.

Поясняющая формула для этой задачи

sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin2x=2\sin x\cos x

Если угол в синусе вдвое больше x, его можно раскрыть как 2sin x cos x.

Шаг 1. Разберём структуру выражения

Угол 128° в знаменателе вдвое больше 64°. Сначала фиксируем исходную запись и выбираем преобразование, которое выполняется точно, без приближённых вычислений.

8sin⁡64∘cos⁡64∘sin⁡128∘\dfrac{8\sin64^\circ\cos64^\circ}{\sin128^\circ}sin⁡128∘=2sin⁡64∘cos⁡64∘\sin128^\circ=2\sin64^\circ\cos64^\circ

Шаг 2. Преобразуем знаменатель

Подставляем x = 64°.

sin⁡128∘=2sin⁡64∘cos⁡64∘\sin128^\circ=2\sin64^\circ\cos64^\circ8sin⁡64∘cos⁡64∘2sin⁡64∘cos⁡64∘\dfrac{8\sin64^\circ\cos64^\circ}{2\sin64^\circ\cos64^\circ}

Шаг 3. Сократим произведение

sin64° и cos64° ненулевые; остаётся отношение коэффициентов 8 и 2.

82=4\dfrac82=4

Шаг 4. Проверим вычисление и запишем ответ

64° не даёт нулевых синуса или косинуса, поэтому сокращение допустимо.

sin⁡64∘cos⁡64∘≠0\sin64^\circ\cos64^\circ\ne08:2=48:2=4

Полученное значение совпадает с точной преобразованной записью. В ответ переносим число 4.

Ответ:44
Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач
  • Формула синуса двойного угла

    Если угол в синусе вдвое больше x, его можно раскрыть как 2sin x cos x.

    sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin2x=2\sin x\cos x
  • Почему правило подходит именно здесь

    Заменим sin128° на 2sin64°cos64° и сократим одинаковое произведение.

    sin⁡128∘=2sin⁡64∘cos⁡64∘\sin128^\circ=2\sin64^\circ\cos64^\circ
  • Точный числовой контроль

    64° не даёт нулевых синуса или косинуса, поэтому сокращение допустимо.

    8:2=48:2=4
Открыть теорию по математике →
Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом
  • Считать sin128° равным sin64°cos64°

    В формуле двойного угла обязательно есть коэффициент 2.

    sin⁡128∘=2sin⁡64∘cos⁡64∘\sin128^\circ=2\sin64^\circ\cos64^\circ
  • Сократить коэффициенты до 8

    После сокращения тригонометрического произведения остаётся 8/2.

    82=4\dfrac82=4
  • Записать промежуточный результат вместо ответа

    После преобразования нужно довести вычисление до числа 4 и перенести в поле ответа только это число.

    4\boxed{4}
Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом
  • Исходные данные переписаны верно

    Все показатели, корни, основания, углы и знаки совпадают с условием этой задачи.

    8sin⁡64∘cos⁡64∘sin⁡128∘\dfrac{8\sin64^\circ\cos64^\circ}{\sin128^\circ}
  • Ключевое преобразование проверено

    Заменим sin128° на 2sin64°cos64° и сократим одинаковое произведение.

    8sin⁡64∘cos⁡64∘2sin⁡64∘cos⁡64∘\dfrac{8\sin64^\circ\cos64^\circ}{2\sin64^\circ\cos64^\circ}
  • Ответ получен точно

    64° не даёт нулевых синуса или косинуса, поэтому сокращение допустимо.

    4\boxed{4}
Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №8
Все задания линии №8 →
Вычисления и преобразованияНайдите значение выражения 5 ⋅ 25.FIPI ID 224219Вычисления и преобразованияНайдите значение выражения 4 ⋅ 16.FIPI ID C1F1E2Вычисления и преобразованияНайдите значение выражения .FIPI ID CCEA21Вычисления и преобразованияНайдите значение выражения .FIPI ID 61C181Вычисления и преобразованияНайдите значение выражения (4) : 4.FIPI ID 41CD19Вычисления и преобразованияНайдите значение выражения (2) : 2.FIPI ID 95FEEB
Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ
Все задания линии №8Перейти к списку и выбрать следующую задачуБанк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭКонструктор вариантаСобрать тренировочный вариантПробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена