Задание 51 из 51Вычисления и преобразования

Линия №8 · Базовый уровень

Найдите значение выражения $2 - 22 sin^{2} (\frac{15 π}{8})$ .

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 0DC0A0

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 1

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

После вынесения √2 в скобках появляется формула косинуса двойного угла.

\sqrt2-2\sqrt2\sin^2\dfrac{15\pi}8

Ключевая идея:

Заменим 1 − 2sin²x на cos2x, затем приведём 15π/4 к 7π/4.

1-2\sin^2x=\cos2x

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно это выражение: последовательно выберем формулу, выполним точные преобразования и проверим результат.

Дано:

\sqrt2-2\sqrt2\sin^2\dfrac{15\pi}8

Нужно найти: значение данного выражения.

План решения: Заменим 1 − 2sin²x на cos2x, затем приведём 15π/4 к 7π/4.

Поясняющая формула для этой задачи

\cos2x=1-2\sin^2x

Форма 1 − 2sin²x позволяет не вычислять sin(15π/8) отдельно.

Шаг 1. Разберём структуру выражения

После вынесения √2 в скобках появляется формула косинуса двойного угла. Сначала фиксируем исходную запись и выбираем преобразование, которое выполняется точно, без приближённых вычислений.

\sqrt2-2\sqrt2\sin^2\dfrac{15\pi}8

1-2\sin^2x=\cos2x

Шаг 2. Вынесем √2 и удвоим угол

Для x = 15π/8 двойной угол равен 15π/4; вычитаем период 2π = 8π/4.

\sqrt2\left(1-2\sin^2\dfrac{15\pi}8\right)=\sqrt2\cos\dfrac{15\pi}4

\cos\dfrac{15\pi}4=\cos\dfrac{7\pi}4=\dfrac{\sqrt2}{2}

Шаг 3. Сократим корни

√2·√2 = 2, затем делим на 2.

\sqrt2\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=\dfrac22=1

Шаг 4. Проверим вычисление и запишем ответ

15π/4 и 7π/4 отличаются на 2π; cos(7π/4) положителен.

\dfrac{15\pi}4-2\pi=\dfrac{7\pi}4

\dfrac{\sqrt2\sqrt2}{2}=1

Полученное значение совпадает с точной преобразованной записью. В ответ переносим число 1.

Ответ:

1

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Косинус двойного угла через синус
Форма 1 − 2sin²x позволяет не вычислять sin(15π/8) отдельно.
$\cos2x=1-2\sin^2x$
Почему правило подходит именно здесь
Заменим 1 − 2sin²x на cos2x, затем приведём 15π/4 к 7π/4.
$\sqrt2\left(1-2\sin^2\dfrac{15\pi}8\right)=\sqrt2\cos\dfrac{15\pi}4$
Точный числовой контроль
15π/4 и 7π/4 отличаются на 2π; cos(7π/4) положителен.
$\dfrac{\sqrt2\sqrt2}{2}=1$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Сократить угол 15π/4 до 3π/4
Вычитается полный период 2π = 8π/4, поэтому остаётся 7π/4.
$\dfrac{15\pi}4-\dfrac{8\pi}4=\dfrac{7\pi}4$
Свернуть скобку в sin2x
Выражение 1 − 2sin²x равно cos2x.
$1-2\sin^2x=\cos2x$
Записать промежуточный результат вместо ответа
После преобразования нужно довести вычисление до числа 1 и перенести в поле ответа только это число.
$\boxed{1}$

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Исходные данные переписаны верно
Все показатели, корни, основания, углы и знаки совпадают с условием этой задачи.
$\sqrt2-2\sqrt2\sin^2\dfrac{15\pi}8$
Ключевое преобразование проверено
Заменим 1 − 2sin²x на cos2x, затем приведём 15π/4 к 7π/4.
$\cos\dfrac{15\pi}4=\cos\dfrac{7\pi}4=\dfrac{\sqrt2}{2}$
Ответ получен точно
15π/4 и 7π/4 отличаются на 2π; cos(7π/4) положителен.
$\boxed{1}$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №8Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите значение выражения 2​−22​sin2(815π​).