Задание 44 из 51Вычисления и преобразования

Линия №8 · Базовый уровень

Найдите значение выражения $43 cos^{2} (\frac{23 π}{12}) - 43 sin^{2} (\frac{23 π}{12})$ .

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 818625

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 6

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Одинаковый коэффициент 4√3 выносится, а разность квадратов функций даёт косинус двойного угла.

4\sqrt3\cos^2\dfrac{23\pi}{12}-4\sqrt3\sin^2\dfrac{23\pi}{12}

Ключевая идея:

Свернём cos²x − sin²x в cos2x при x = 23π/12 и приведём угол 23π/6 к 11π/6.

\cos^2x-\sin^2x=\cos2x

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно это выражение: последовательно выберем формулу, выполним точные преобразования и проверим результат.

Дано:

4\sqrt3\cos^2\dfrac{23\pi}{12}-4\sqrt3\sin^2\dfrac{23\pi}{12}

Нужно найти: значение данного выражения.

План решения: Свернём cos²x − sin²x в cos2x при x = 23π/12 и приведём угол 23π/6 к 11π/6.

Поясняющая формула для этой задачи

\cos2x=\cos^2x-\sin^2x

Эта формула заменяет два квадрата одним табличным значением.

Шаг 1. Разберём структуру выражения

Одинаковый коэффициент 4√3 выносится, а разность квадратов функций даёт косинус двойного угла. Сначала фиксируем исходную запись и выбираем преобразование, которое выполняется точно, без приближённых вычислений.

4\sqrt3\cos^2\dfrac{23\pi}{12}-4\sqrt3\sin^2\dfrac{23\pi}{12}

\cos^2x-\sin^2x=\cos2x

Шаг 2. Вынесем коэффициент и свернём скобку

Двойной угол равен 23π/6.

4\sqrt3\left(\cos^2\dfrac{23\pi}{12}-\sin^2\dfrac{23\pi}{12}\right)=4\sqrt3\cos\dfrac{23\pi}{6}

\dfrac{23\pi}{6}=2\pi+\dfrac{11\pi}{6},\qquad\cos\dfrac{11\pi}{6}=\dfrac{\sqrt3}{2}

Шаг 3. Подставим табличное значение

√3·√3 = 3.

4\sqrt3\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{4\cdot3}{2}=6

Шаг 4. Проверим вычисление и запишем ответ

Угол 11π/6 расположен в IV четверти, где косинус положителен; ответ положительный.

\cos\dfrac{11\pi}{6}=\dfrac{\sqrt3}{2}>0

\dfrac{12}{2}=6

Полученное значение совпадает с точной преобразованной записью. В ответ переносим число 6.

Ответ:

6

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Косинус двойного угла как разность квадратов
Эта формула заменяет два квадрата одним табличным значением.
$\cos2x=\cos^2x-\sin^2x$
Почему правило подходит именно здесь
Свернём cos²x − sin²x в cos2x при x = 23π/12 и приведём угол 23π/6 к 11π/6.
$4\sqrt3\left(\cos^2\dfrac{23\pi}{12}-\sin^2\dfrac{23\pi}{12}\right)=4\sqrt3\cos\dfrac{23\pi}{6}$
Точный числовой контроль
Угол 11π/6 расположен в IV четверти, где косинус положителен; ответ положительный.
$\dfrac{12}{2}=6$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Свернуть разность в 1
Равенство 1 даёт сумма квадратов; разность равна cos2x.
$\cos^2x-\sin^2x=\cos2x$
Неверно сократить период
Из 23π/6 вычитаем 12π/6 = 2π и получаем 11π/6.
$\dfrac{23\pi}{6}-2\pi=\dfrac{11\pi}{6}$
Записать промежуточный результат вместо ответа
После преобразования нужно довести вычисление до числа 6 и перенести в поле ответа только это число.
$\boxed{6}$

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Исходные данные переписаны верно
Все показатели, корни, основания, углы и знаки совпадают с условием этой задачи.
$4\sqrt3\cos^2\dfrac{23\pi}{12}-4\sqrt3\sin^2\dfrac{23\pi}{12}$
Ключевое преобразование проверено
Свернём cos²x − sin²x в cos2x при x = 23π/12 и приведём угол 23π/6 к 11π/6.
$\dfrac{23\pi}{6}=2\pi+\dfrac{11\pi}{6},\qquad\cos\dfrac{11\pi}{6}=\dfrac{\sqrt3}{2}$
Ответ получен точно
Угол 11π/6 расположен в IV четверти, где косинус положителен; ответ положительный.
$\boxed{6}$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №8Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите значение выражения 43​cos2(1223π​)−43​sin2(1223π​).