Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
↪ВойтиЧерез VK ID
Меню
Задание 38 из 51Вычисления и преобразования
Линия №8 · Базовый уровень

Найдите значение выражения .

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 042F86

Показать ответ

Ответ: 6

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Углы 34° и 56° дополняют друг друга до 90°, а 68° — удвоенный угол 34°.

3sin⁡68∘cos⁡34∘cos⁡56∘\dfrac{3\sin68^\circ}{\cos34^\circ\cos56^\circ}
Ключевая идея:

Заменим cos56° на sin34° и используем sin68° = 2sin34°cos34°.

cos⁡(90∘−x)=sin⁡x,sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\cos(90^\circ-x)=\sin x,\qquad\sin2x=2\sin x\cos x
Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно это выражение: последовательно выберем формулу, выполним точные преобразования и проверим результат.

Дано:

3sin⁡68∘cos⁡34∘cos⁡56∘\dfrac{3\sin68^\circ}{\cos34^\circ\cos56^\circ}

Нужно найти: значение данного выражения.

План решения: Заменим cos56° на sin34° и используем sin68° = 2sin34°cos34°.

Поясняющая формула для этой задачи

cos⁡56∘=sin⁡34∘,sin⁡68∘=2sin⁡34∘cos⁡34∘\cos56^\circ=\sin34^\circ,\qquad\sin68^\circ=2\sin34^\circ\cos34^\circ

Косинус дополнительного угла превращается в синус, после чего знаменатель совпадает с половиной sin68°.

Шаг 1. Разберём структуру выражения

Углы 34° и 56° дополняют друг друга до 90°, а 68° — удвоенный угол 34°. Сначала фиксируем исходную запись и выбираем преобразование, которое выполняется точно, без приближённых вычислений.

3sin⁡68∘cos⁡34∘cos⁡56∘\dfrac{3\sin68^\circ}{\cos34^\circ\cos56^\circ}cos⁡(90∘−x)=sin⁡x,sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\cos(90^\circ-x)=\sin x,\qquad\sin2x=2\sin x\cos x

Шаг 2. Преобразуем знаменатель

Заменяем cos56° и распознаём произведение sin34°cos34°.

cos⁡34∘cos⁡56∘=cos⁡34∘sin⁡34∘\cos34^\circ\cos56^\circ=\cos34^\circ\sin34^\circsin⁡34∘cos⁡34∘=12sin⁡68∘\sin34^\circ\cos34^\circ=\dfrac12\sin68^\circ

Шаг 3. Сократим общий множитель

sin68° не равен нулю, поэтому его можно сократить.

3sin⁡68∘12sin⁡68∘=3⋅2=6\dfrac{3\sin68^\circ}{\frac12\sin68^\circ}=3\cdot2=6

Шаг 4. Проверим вычисление и запишем ответ

Угол 68° не кратен 180°, значит sin68° ≠ 0 и сокращение допустимо.

sin⁡68∘≠0\sin68^\circ\ne031/2=6\dfrac3{1/2}=6

Полученное значение совпадает с точной преобразованной записью. В ответ переносим число 6.

Ответ:66
Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач
  • Формулы приведения и двойного угла

    Косинус дополнительного угла превращается в синус, после чего знаменатель совпадает с половиной sin68°.

    cos⁡56∘=sin⁡34∘,sin⁡68∘=2sin⁡34∘cos⁡34∘\cos56^\circ=\sin34^\circ,\qquad\sin68^\circ=2\sin34^\circ\cos34^\circ
  • Почему правило подходит именно здесь

    Заменим cos56° на sin34° и используем sin68° = 2sin34°cos34°.

    cos⁡34∘cos⁡56∘=cos⁡34∘sin⁡34∘\cos34^\circ\cos56^\circ=\cos34^\circ\sin34^\circ
  • Точный числовой контроль

    Угол 68° не кратен 180°, значит sin68° ≠ 0 и сокращение допустимо.

    31/2=6\dfrac3{1/2}=6
Открыть теорию по математике →
Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом
  • Считать cos56° равным cos34°

    Дополнительные углы меняют функцию: cos56° = sin34°.

    56∘=90∘−34∘⟹cos⁡56∘=sin⁡34∘56^\circ=90^\circ-34^\circ\Longrightarrow\cos56^\circ=\sin34^\circ
  • Потерять коэффициент 2

    Произведение sin34°cos34° равно половине sin68°.

    sin⁡34∘cos⁡34∘=12sin⁡68∘\sin34^\circ\cos34^\circ=\frac12\sin68^\circ
  • Записать промежуточный результат вместо ответа

    После преобразования нужно довести вычисление до числа 6 и перенести в поле ответа только это число.

    6\boxed{6}
Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом
  • Исходные данные переписаны верно

    Все показатели, корни, основания, углы и знаки совпадают с условием этой задачи.

    3sin⁡68∘cos⁡34∘cos⁡56∘\dfrac{3\sin68^\circ}{\cos34^\circ\cos56^\circ}
  • Ключевое преобразование проверено

    Заменим cos56° на sin34° и используем sin68° = 2sin34°cos34°.

    sin⁡34∘cos⁡34∘=12sin⁡68∘\sin34^\circ\cos34^\circ=\dfrac12\sin68^\circ
  • Ответ получен точно

    Угол 68° не кратен 180°, значит sin68° ≠ 0 и сокращение допустимо.

    6\boxed{6}
Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №8
Все задания линии №8 →
Вычисления и преобразованияНайдите значение выражения 5 ⋅ 25.FIPI ID 224219Вычисления и преобразованияНайдите значение выражения 4 ⋅ 16.FIPI ID C1F1E2Вычисления и преобразованияНайдите значение выражения .FIPI ID CCEA21Вычисления и преобразованияНайдите значение выражения .FIPI ID 61C181Вычисления и преобразованияНайдите значение выражения (4) : 4.FIPI ID 41CD19Вычисления и преобразованияНайдите значение выражения (2) : 2.FIPI ID 95FEEB
Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ
Все задания линии №8Перейти к списку и выбрать следующую задачуБанк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭКонструктор вариантаСобрать тренировочный вариантПробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена