Задание 50 из 51Вычисления и преобразования

Линия №8 · Базовый уровень

Найдите значение выражения $33 - 63 sin^{2} (\frac{13 π}{12})$ .

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 7E8850

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 4,5

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Общий множитель 3√3 превращает скобку в 1 − 2sin²x.

3\sqrt3-6\sqrt3\sin^2\dfrac{13\pi}{12}

Ключевая идея:

Используем cos2x и приведём 13π/6 к π/6.

1-2\sin^2x=\cos2x

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно это выражение: последовательно выберем формулу, выполним точные преобразования и проверим результат.

Дано:

3\sqrt3-6\sqrt3\sin^2\dfrac{13\pi}{12}

Нужно найти: значение данного выражения.

План решения: Используем cos2x и приведём 13π/6 к π/6.

Поясняющая формула для этой задачи

\cos2x=1-2\sin^2x

После вынесения коэффициента выражение точно совпадает с 1 − 2sin²x.

Шаг 1. Разберём структуру выражения

Общий множитель 3√3 превращает скобку в 1 − 2sin²x. Сначала фиксируем исходную запись и выбираем преобразование, которое выполняется точно, без приближённых вычислений.

3\sqrt3-6\sqrt3\sin^2\dfrac{13\pi}{12}

1-2\sin^2x=\cos2x

Шаг 2. Вынесем 3√3

Удвоенный угол равен 13π/6.

3\sqrt3\left(1-2\sin^2\dfrac{13\pi}{12}\right)=3\sqrt3\cos\dfrac{13\pi}{6}

\cos\dfrac{13\pi}{6}=\cos\dfrac\pi6=\dfrac{\sqrt3}{2}

Шаг 3. Выполним умножение

√3·√3 = 3, остаётся 9/2.

3\sqrt3\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac92=4{,}5

Шаг 4. Проверим вычисление и запишем ответ

13π/6 отличается от π/6 на полный период 2π; значение 4,5 положительно.

\dfrac{13\pi}{6}-2\pi=\dfrac\pi6

\dfrac92=4{,}5

Полученное значение совпадает с точной преобразованной записью. В ответ переносим число 4,5.

Ответ:

4{,}5

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Форма косинуса двойного угла
После вынесения коэффициента выражение точно совпадает с 1 − 2sin²x.
$\cos2x=1-2\sin^2x$
Почему правило подходит именно здесь
Используем cos2x и приведём 13π/6 к π/6.
$3\sqrt3\left(1-2\sin^2\dfrac{13\pi}{12}\right)=3\sqrt3\cos\dfrac{13\pi}{6}$
Точный числовой контроль
13π/6 отличается от π/6 на полный период 2π; значение 4,5 положительно.
$\dfrac92=4{,}5$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Оставить коэффициент 6 внутри без двойки
После вынесения 3√3 второй коэффициент равен 2.
$6\sqrt3:(3\sqrt3)=2$
Взять cos(13π/6) отрицательным
После удаления полного периода остаётся угол π/6 из I четверти.
$\cos\dfrac{13\pi}{6}=\cos\dfrac\pi6>0$
Записать промежуточный результат вместо ответа
После преобразования нужно довести вычисление до числа 4,5 и перенести в поле ответа только это число.
$\boxed{4{,}5}$

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Исходные данные переписаны верно
Все показатели, корни, основания, углы и знаки совпадают с условием этой задачи.
$3\sqrt3-6\sqrt3\sin^2\dfrac{13\pi}{12}$
Ключевое преобразование проверено
Используем cos2x и приведём 13π/6 к π/6.
$\cos\dfrac{13\pi}{6}=\cos\dfrac\pi6=\dfrac{\sqrt3}{2}$
Ответ получен точно
13π/6 отличается от π/6 на полный период 2π; значение 4,5 положительно.
$\boxed{4{,}5}$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №8Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите значение выражения 33​−63​sin2(1213π​).