Задание 39 из 51Вычисления и преобразования

Линия №8 · Базовый уровень

Найдите значение выражения $\frac{2 s in 13 6 ^{\circ}}{s in 6 8 ^{\circ} \cdot s in 2 2 ^{\circ}}$ .

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 2D494A

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 4

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Угол 136° равен 2·68°, а cos68° связан с sin22° как с дополнительным углом.

\dfrac{2\sin136^\circ}{\sin68^\circ\sin22^\circ}

Ключевая идея:

Раскроем sin136° по формуле двойного угла и заменим cos68° на sin22°.

\sin136^\circ=2\sin68^\circ\cos68^\circ

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно это выражение: последовательно выберем формулу, выполним точные преобразования и проверим результат.

Дано:

\dfrac{2\sin136^\circ}{\sin68^\circ\sin22^\circ}

Нужно найти: значение данного выражения.

План решения: Раскроем sin136° по формуле двойного угла и заменим cos68° на sin22°.

Поясняющая формула для этой задачи

\sin2x=2\sin x\cos x

Формула sin2x = 2sin x cos x создаёт множители, совпадающие со знаменателем.

Шаг 1. Разберём структуру выражения

Угол 136° равен 2·68°, а cos68° связан с sin22° как с дополнительным углом. Сначала фиксируем исходную запись и выбираем преобразование, которое выполняется точно, без приближённых вычислений.

\dfrac{2\sin136^\circ}{\sin68^\circ\sin22^\circ}

\sin136^\circ=2\sin68^\circ\cos68^\circ

Шаг 2. Раскроем синус 136°

Внешний коэффициент 2 также сохраняется, поэтому всего появляется коэффициент 4.

2\sin136^\circ=2\cdot2\sin68^\circ\cos68^\circ=4\sin68^\circ\cos68^\circ

\cos68^\circ=\sin(90^\circ-68^\circ)=\sin22^\circ

Шаг 3. Сократим одинаковые множители

sin68° и sin22° ненулевые и сокращаются.

\dfrac{4\sin68^\circ\sin22^\circ}{\sin68^\circ\sin22^\circ}=4

Шаг 4. Проверим вычисление и запишем ответ

Оба синуса положительны и ненулевые, поэтому сокращение корректно.

\sin68^\circ>0,\qquad\sin22^\circ>0

\dfrac{4AB}{AB}=4

Полученное значение совпадает с точной преобразованной записью. В ответ переносим число 4.

Ответ:

4

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Синус двойного угла
Формула sin2x = 2sin x cos x создаёт множители, совпадающие со знаменателем.
$\sin2x=2\sin x\cos x$
Почему правило подходит именно здесь
Раскроем sin136° по формуле двойного угла и заменим cos68° на sin22°.
$2\sin136^\circ=2\cdot2\sin68^\circ\cos68^\circ=4\sin68^\circ\cos68^\circ$
Точный числовой контроль
Оба синуса положительны и ненулевые, поэтому сокращение корректно.
$\dfrac{4AB}{AB}=4$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Потерять внешний коэффициент 2
В формуле двойного угла появляется одна двойка, а перед sin136° уже стоит другая.
$2\sin136^\circ=4\sin68^\circ\cos68^\circ$
Заменить cos68° на cos22°
Для дополнительных углов косинус превращается в синус.
$\cos68^\circ=\sin22^\circ$
Записать промежуточный результат вместо ответа
После преобразования нужно довести вычисление до числа 4 и перенести в поле ответа только это число.
$\boxed{4}$

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Исходные данные переписаны верно
Все показатели, корни, основания, углы и знаки совпадают с условием этой задачи.
$\dfrac{2\sin136^\circ}{\sin68^\circ\sin22^\circ}$
Ключевое преобразование проверено
Раскроем sin136° по формуле двойного угла и заменим cos68° на sin22°.
$\cos68^\circ=\sin(90^\circ-68^\circ)=\sin22^\circ$
Ответ получен точно
Оба синуса положительны и ненулевые, поэтому сокращение корректно.
$\boxed{4}$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №8Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите значение выражения sin68∘⋅sin22∘2sin136∘​.