Задание 37 из 51Вычисления и преобразования

Линия №8 · Базовый уровень

Найдите значение выражения $182 \cdot tg (\frac{π}{4}) \cdot sin (\frac{π}{4})$ .

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: DC6B69

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 18

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Тангенс и синус угла π/4 имеют известные точные значения.

18\sqrt2\tg\dfrac\pi4\sin\dfrac\pi4

Ключевая идея:

Подставим tg(π/4) = 1 и sin(π/4) = √2/2; произведение корней упростится.

\tg\dfrac\pi4=1,\qquad\sin\dfrac\pi4=\dfrac{\sqrt2}{2}

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно это выражение: последовательно выберем формулу, выполним точные преобразования и проверим результат.

Дано:

18\sqrt2\tg\dfrac\pi4\sin\dfrac\pi4

Нужно найти: значение данного выражения.

План решения: Подставим tg(π/4) = 1 и sin(π/4) = √2/2; произведение корней упростится.

Поясняющая формула для этой задачи

\sin\frac\pi4=\cos\frac\pi4=\frac{\sqrt2}{2},\qquad\tg\frac\pi4=1

Для угла 45° синус и косинус равны √2/2, а их отношение — 1.

Шаг 1. Разберём структуру выражения

Тангенс и синус угла π/4 имеют известные точные значения. Сначала фиксируем исходную запись и выбираем преобразование, которое выполняется точно, без приближённых вычислений.

18\sqrt2\tg\dfrac\pi4\sin\dfrac\pi4

\tg\dfrac\pi4=1,\qquad\sin\dfrac\pi4=\dfrac{\sqrt2}{2}

Шаг 2. Подставим значения функций

Сохраняем коэффициент 18√2.

18\sqrt2\cdot1\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}

Шаг 3. Упростим произведение

Произведение двух корней равно 2 и сокращается со знаменателем.

18\sqrt2\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=18\cdot\dfrac22

18\cdot1=18

Шаг 4. Проверим вычисление и запишем ответ

Все множители положительны, итог 18 положителен; √2·√2/2 = 1.

\dfrac{\sqrt2\cdot\sqrt2}{2}=1

18\cdot1=18

Полученное значение совпадает с точной преобразованной записью. В ответ переносим число 18.

Ответ:

18

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Табличные значения π/4
Для угла 45° синус и косинус равны √2/2, а их отношение — 1.
$\sin\frac\pi4=\cos\frac\pi4=\frac{\sqrt2}{2},\qquad\tg\frac\pi4=1$
Почему правило подходит именно здесь
Подставим tg(π/4) = 1 и sin(π/4) = √2/2; произведение корней упростится.
$18\sqrt2\cdot1\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}$
Точный числовой контроль
Все множители положительны, итог 18 положителен; √2·√2/2 = 1.
$18\cdot1=18$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Принять tg(π/4) за √2/2
√2/2 — значение синуса и косинуса; тангенс равен 1.
$\tg\dfrac\pi4=1$
Оставить ответ 18√2
В выражении присутствует ещё один множитель √2/2, который убирает корень.
$\sqrt2\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=1$
Записать промежуточный результат вместо ответа
После преобразования нужно довести вычисление до числа 18 и перенести в поле ответа только это число.
$\boxed{18}$

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Исходные данные переписаны верно
Все показатели, корни, основания, углы и знаки совпадают с условием этой задачи.
$18\sqrt2\tg\dfrac\pi4\sin\dfrac\pi4$
Ключевое преобразование проверено
Подставим tg(π/4) = 1 и sin(π/4) = √2/2; произведение корней упростится.
$18\sqrt2\cdot1\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}$
Ответ получен точно
Все множители положительны, итог 18 положителен; √2·√2/2 = 1.
$\boxed{18}$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №8Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите значение выражения 182​⋅tg(4π​)⋅sin(4π​).