Задание 9 из 51Вычисления и преобразования

Линия №8 · Базовый уровень

Найдите значение выражения $\frac{4 8 \cdot 4 48}{4 24}$ .

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 334A92

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 2

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Все корни имеют одинаковый показатель 4, поэтому их можно объединить.

\dfrac{\sqrt[4]{8}\cdot\sqrt[4]{48}}{\sqrt[4]{24}}

Ключевая идея:

Соберём под одним корнем произведение числителя и деление на подкоренное выражение знаменателя.

\dfrac{\sqrt[4]{a}\sqrt[4]{b}}{\sqrt[4]{c}}=\sqrt[4]{\dfrac{ab}{c}}

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно это выражение: последовательно выберем формулу, выполним точные преобразования и проверим результат.

Дано:

\dfrac{\sqrt[4]{8}\cdot\sqrt[4]{48}}{\sqrt[4]{24}}

Нужно найти: значение данного выражения.

План решения: Соберём под одним корнем произведение числителя и деление на подкоренное выражение знаменателя.

Поясняющая формула для этой задачи

\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab},\qquad\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\dfrac ab}

Для неотрицательных подкоренных выражений корни одной степени можно перемножать и делить под одним корнем.

Шаг 1. Разберём структуру выражения

Все корни имеют одинаковый показатель 4, поэтому их можно объединить. Сначала фиксируем исходную запись и выбираем преобразование, которое выполняется точно, без приближённых вычислений.

\dfrac{\sqrt[4]{8}\cdot\sqrt[4]{48}}{\sqrt[4]{24}}

\dfrac{\sqrt[4]{a}\sqrt[4]{b}}{\sqrt[4]{c}}=\sqrt[4]{\dfrac{ab}{c}}

Шаг 2. Объединим три корня

Переносим множители и делитель под единый корень четвёртой степени.

\dfrac{\sqrt[4]{8}\sqrt[4]{48}}{\sqrt[4]{24}}=\sqrt[4]{\dfrac{8\cdot48}{24}}

\dfrac{8\cdot48}{24}=8\cdot2=16

Шаг 3. Извлечём корень четвёртой степени

Число 16 является четвёртой степенью числа 2.

\sqrt[4]{16}=\sqrt[4]{2^4}=2

Шаг 4. Проверим вычисление и запишем ответ

Поскольку 2⁴ = 16, найденный корень равен 2.

2^4=16

\sqrt[4]{16}=2

Полученное значение совпадает с точной преобразованной записью. В ответ переносим число 2.

Ответ:

2

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Действия с корнями одной степени
Для неотрицательных подкоренных выражений корни одной степени можно перемножать и делить под одним корнем.
$\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab},\qquad\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\dfrac ab}$
Почему правило подходит именно здесь
Соберём под одним корнем произведение числителя и деление на подкоренное выражение знаменателя.
$\dfrac{\sqrt[4]{8}\sqrt[4]{48}}{\sqrt[4]{24}}=\sqrt[4]{\dfrac{8\cdot48}{24}}$
Точный числовой контроль
Поскольку 2⁴ = 16, найденный корень равен 2.
$\sqrt[4]{16}=2$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Сложить подкоренные числа
При произведении корней подкоренные выражения перемножаются, а не складываются.
$\sqrt[4]{8}\sqrt[4]{48}=\sqrt[4]{8\cdot48}$
Забыть знаменатель 24
Корень в знаменателе означает деление под единым корнем.
$\sqrt[4]{\dfrac{8\cdot48}{24}}$
Записать промежуточный результат вместо ответа
После преобразования нужно довести вычисление до числа 2 и перенести в поле ответа только это число.
$\boxed{2}$

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Исходные данные переписаны верно
Все показатели, корни, основания, углы и знаки совпадают с условием этой задачи.
$\dfrac{\sqrt[4]{8}\cdot\sqrt[4]{48}}{\sqrt[4]{24}}$
Ключевое преобразование проверено
Соберём под одним корнем произведение числителя и деление на подкоренное выражение знаменателя.
$\dfrac{8\cdot48}{24}=8\cdot2=16$
Ответ получен точно
Поскольку 2⁴ = 16, найденный корень равен 2.
$\boxed{2}$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №8Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите значение выражения 424​48​⋅448​​.