Задание 23 из 51Вычисления и преобразования

Линия №8 · Базовый уровень

Найдите значение выражения $8 l o g_{5} (45)$ .

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: F13332

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 2

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Аргумент логарифма является дробной степенью его основания.

8\log_5\sqrt[4]{5}

Ключевая идея:

Заменим корень четвёртой степени на 5^(1/4); логарифм вернёт показатель 1/4.

\sqrt[4]{5}=5^{\frac14}

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно это выражение: последовательно выберем формулу, выполним точные преобразования и проверим результат.

Дано:

8\log_5\sqrt[4]{5}

Нужно найти: значение данного выражения.

План решения: Заменим корень четвёртой степени на 5^(1/4); логарифм вернёт показатель 1/4.

Поясняющая формула для этой задачи

\log_a a^r=r

Логарифм числа a^r по основанию a равен показателю r.

Шаг 1. Разберём структуру выражения

Аргумент логарифма является дробной степенью его основания. Сначала фиксируем исходную запись и выбираем преобразование, которое выполняется точно, без приближённых вычислений.

8\log_5\sqrt[4]{5}

\sqrt[4]{5}=5^{\frac14}

Шаг 2. Перепишем корень дробной степенью

Показатель корня 4 становится знаменателем показателя степени.

\log_5\sqrt[4]{5}=\log_5 5^{\frac14}=\frac14

Шаг 3. Умножим на внешний коэффициент

Коэффициент 8 относится ко всему логарифму.

8\cdot\frac14=\frac84

\frac84=2

Шаг 4. Проверим вычисление и запишем ответ

Поскольку (5^(1/4))⁴ = 5, значение логарифма 1/4 определено верно.

\left(5^{\frac14}\right)^4=5

8\log_5\sqrt[4]{5}=2

Полученное значение совпадает с точной преобразованной записью. В ответ переносим число 2.

Ответ:

2

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Логарифм степени основания
Логарифм числа a^r по основанию a равен показателю r.
$\log_a a^r=r$
Почему правило подходит именно здесь
Заменим корень четвёртой степени на 5^(1/4); логарифм вернёт показатель 1/4.
$\log_5\sqrt[4]{5}=\log_5 5^{\frac14}=\frac14$
Точный числовой контроль
Поскольку (5^(1/4))⁴ = 5, значение логарифма 1/4 определено верно.
$8\log_5\sqrt[4]{5}=2$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Принять логарифм за 4
Логарифм спрашивает, в какую степень возвести 5; для четвёртого корня эта степень равна 1/4.
$\log_5\sqrt[4]{5}=\frac14$
Забыть коэффициент 8
После вычисления логарифма результат обязательно умножается на 8.
$8\cdot\frac14=2$
Записать промежуточный результат вместо ответа
После преобразования нужно довести вычисление до числа 2 и перенести в поле ответа только это число.
$\boxed{2}$

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Исходные данные переписаны верно
Все показатели, корни, основания, углы и знаки совпадают с условием этой задачи.
$8\log_5\sqrt[4]{5}$
Ключевое преобразование проверено
Заменим корень четвёртой степени на 5^(1/4); логарифм вернёт показатель 1/4.
$\log_5\sqrt[4]{5}=\log_5 5^{\frac14}=\frac14$
Ответ получен точно
Поскольку (5^(1/4))⁴ = 5, значение логарифма 1/4 определено верно.
$\boxed{2}$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №8Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите значение выражения 8log5​(45​).