Задание 46 из 51Вычисления и преобразования

Линия №8 · Базовый уровень

Найдите значение выражения $32 cos^{2} (\frac{9 π}{8}) - 32 sin^{2} (\frac{9 π}{8})$ .

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: A68E99

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 3

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Выражение имеет вид общего коэффициента, умноженного на cos²x − sin²x.

3\sqrt2\cos^2\dfrac{9\pi}8-3\sqrt2\sin^2\dfrac{9\pi}8

Ключевая идея:

Свернём разность в cos(9π/4), затем вычтем период 2π и получим cos(π/4).

\cos^2x-\sin^2x=\cos2x

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно это выражение: последовательно выберем формулу, выполним точные преобразования и проверим результат.

Дано:

3\sqrt2\cos^2\dfrac{9\pi}8-3\sqrt2\sin^2\dfrac{9\pi}8

Нужно найти: значение данного выражения.

План решения: Свернём разность в cos(9π/4), затем вычтем период 2π и получим cos(π/4).

Поясняющая формула для этой задачи

\cos2x=\cos^2x-\sin^2x

При x = 9π/8 удвоенный угол равен 9π/4.

Шаг 1. Разберём структуру выражения

Выражение имеет вид общего коэффициента, умноженного на cos²x − sin²x. Сначала фиксируем исходную запись и выбираем преобразование, которое выполняется точно, без приближённых вычислений.

3\sqrt2\cos^2\dfrac{9\pi}8-3\sqrt2\sin^2\dfrac{9\pi}8

\cos^2x-\sin^2x=\cos2x

Шаг 2. Применим формулу двойного угла

Выносим 3√2 и удваиваем угол.

3\sqrt2\left(\cos^2\dfrac{9\pi}8-\sin^2\dfrac{9\pi}8\right)=3\sqrt2\cos\dfrac{9\pi}4

\cos\dfrac{9\pi}4=\cos\left(2\pi+\dfrac\pi4\right)=\dfrac{\sqrt2}{2}

Шаг 3. Вычислим произведение

Два корня √2 дают 2.

3\sqrt2\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=3\cdot\dfrac22=3

Шаг 4. Проверим вычисление и запишем ответ

Угол 9π/4 сонаправлен с π/4, поэтому косинус положителен.

\dfrac{9\pi}4-2\pi=\dfrac\pi4

\cos\dfrac\pi4=\dfrac{\sqrt2}{2}

Полученное значение совпадает с точной преобразованной записью. В ответ переносим число 3.

Ответ:

3

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Косинус двойного угла
При x = 9π/8 удвоенный угол равен 9π/4.
$\cos2x=\cos^2x-\sin^2x$
Почему правило подходит именно здесь
Свернём разность в cos(9π/4), затем вычтем период 2π и получим cos(π/4).
$3\sqrt2\left(\cos^2\dfrac{9\pi}8-\sin^2\dfrac{9\pi}8\right)=3\sqrt2\cos\dfrac{9\pi}4$
Точный числовой контроль
Угол 9π/4 сонаправлен с π/4, поэтому косинус положителен.
$\cos\dfrac\pi4=\dfrac{\sqrt2}{2}$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Считать cos(9π/4) неизвестным
Косинус имеет период 2π; вычитаем 8π/4.
$\cos\dfrac{9\pi}4=\cos\dfrac\pi4$
Потерять коэффициент 3
После сокращения корней остаётся внешний множитель 3.
$3\sqrt2\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=3$
Записать промежуточный результат вместо ответа
После преобразования нужно довести вычисление до числа 3 и перенести в поле ответа только это число.
$\boxed{3}$

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Исходные данные переписаны верно
Все показатели, корни, основания, углы и знаки совпадают с условием этой задачи.
$3\sqrt2\cos^2\dfrac{9\pi}8-3\sqrt2\sin^2\dfrac{9\pi}8$
Ключевое преобразование проверено
Свернём разность в cos(9π/4), затем вычтем период 2π и получим cos(π/4).
$\cos\dfrac{9\pi}4=\cos\left(2\pi+\dfrac\pi4\right)=\dfrac{\sqrt2}{2}$
Ответ получен точно
Угол 9π/4 сонаправлен с π/4, поэтому косинус положителен.
$\boxed{3}$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №8Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите значение выражения 32​cos2(89π​)−32​sin2(89π​).