Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
↪ВойтиЧерез VK ID
Меню
Задание 45 из 51Вычисления и преобразования
Линия №8 · Базовый уровень

Найдите значение выражения .

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: A7C3EB

Показать ответ

Ответ: 5

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Общий множитель 5√2 позволяет сразу увидеть формулу cos²x − sin²x.

52cos⁡27π8−52sin⁡27π85\sqrt2\cos^2\dfrac{7\pi}8-5\sqrt2\sin^2\dfrac{7\pi}8
Ключевая идея:

Заменим разность квадратов на cos(7π/4) и подставим √2/2.

cos⁡2x−sin⁡2x=cos⁡2x\cos^2x-\sin^2x=\cos2x
Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно это выражение: последовательно выберем формулу, выполним точные преобразования и проверим результат.

Дано:

52cos⁡27π8−52sin⁡27π85\sqrt2\cos^2\dfrac{7\pi}8-5\sqrt2\sin^2\dfrac{7\pi}8

Нужно найти: значение данного выражения.

План решения: Заменим разность квадратов на cos(7π/4) и подставим √2/2.

Поясняющая формула для этой задачи

cos⁡2x−sin⁡2x=cos⁡2x\cos^2x-\sin^2x=\cos2x

При x = 7π/8 двойной угол равен 7π/4.

Шаг 1. Разберём структуру выражения

Общий множитель 5√2 позволяет сразу увидеть формулу cos²x − sin²x. Сначала фиксируем исходную запись и выбираем преобразование, которое выполняется точно, без приближённых вычислений.

52cos⁡27π8−52sin⁡27π85\sqrt2\cos^2\dfrac{7\pi}8-5\sqrt2\sin^2\dfrac{7\pi}8cos⁡2x−sin⁡2x=cos⁡2x\cos^2x-\sin^2x=\cos2x

Шаг 2. Вынесем общий коэффициент

После свёртки получаем одно табличное значение.

52(cos⁡27π8−sin⁡27π8)=52cos⁡7π45\sqrt2\left(\cos^2\dfrac{7\pi}8-\sin^2\dfrac{7\pi}8\right)=5\sqrt2\cos\dfrac{7\pi}4cos⁡7π4=22\cos\dfrac{7\pi}4=\dfrac{\sqrt2}{2}

Шаг 3. Сократим корни

√2·√2 = 2, которое сокращает знаменатель 2.

52⋅22=5⋅22=55\sqrt2\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=5\cdot\dfrac22=5

Шаг 4. Проверим вычисление и запишем ответ

cos(7π/4) положителен, поэтому результат 5 положителен.

cos⁡7π4>0\cos\dfrac{7\pi}4>05⋅1=55\cdot1=5

Полученное значение совпадает с точной преобразованной записью. В ответ переносим число 5.

Ответ:55
Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач
  • Разность квадратов синуса и косинуса

    При x = 7π/8 двойной угол равен 7π/4.

    cos⁡2x−sin⁡2x=cos⁡2x\cos^2x-\sin^2x=\cos2x
  • Почему правило подходит именно здесь

    Заменим разность квадратов на cos(7π/4) и подставим √2/2.

    52(cos⁡27π8−sin⁡27π8)=52cos⁡7π45\sqrt2\left(\cos^2\dfrac{7\pi}8-\sin^2\dfrac{7\pi}8\right)=5\sqrt2\cos\dfrac{7\pi}4
  • Точный числовой контроль

    cos(7π/4) положителен, поэтому результат 5 положителен.

    5⋅1=55\cdot1=5
Открыть теорию по математике →
Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом
  • Использовать sin2x

    Разность cos²x − sin²x сворачивается в cos2x, а не в sin2x.

    cos⁡2x−sin⁡2x=cos⁡2x\cos^2x-\sin^2x=\cos2x
  • Взять cos(7π/4) со знаком минус

    В IV четверти косинус положителен.

    cos⁡7π4=22\cos\dfrac{7\pi}4=\dfrac{\sqrt2}{2}
  • Записать промежуточный результат вместо ответа

    После преобразования нужно довести вычисление до числа 5 и перенести в поле ответа только это число.

    5\boxed{5}
Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом
  • Исходные данные переписаны верно

    Все показатели, корни, основания, углы и знаки совпадают с условием этой задачи.

    52cos⁡27π8−52sin⁡27π85\sqrt2\cos^2\dfrac{7\pi}8-5\sqrt2\sin^2\dfrac{7\pi}8
  • Ключевое преобразование проверено

    Заменим разность квадратов на cos(7π/4) и подставим √2/2.

    cos⁡7π4=22\cos\dfrac{7\pi}4=\dfrac{\sqrt2}{2}
  • Ответ получен точно

    cos(7π/4) положителен, поэтому результат 5 положителен.

    5\boxed{5}
Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №8
Все задания линии №8 →
Вычисления и преобразованияНайдите значение выражения 5 ⋅ 25.FIPI ID 224219Вычисления и преобразованияНайдите значение выражения 4 ⋅ 16.FIPI ID C1F1E2Вычисления и преобразованияНайдите значение выражения .FIPI ID CCEA21Вычисления и преобразованияНайдите значение выражения .FIPI ID 61C181Вычисления и преобразованияНайдите значение выражения (4) : 4.FIPI ID 41CD19Вычисления и преобразованияНайдите значение выражения (2) : 2.FIPI ID 95FEEB
Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ
Все задания линии №8Перейти к списку и выбрать следующую задачуБанк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭКонструктор вариантаСобрать тренировочный вариантПробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена