Задание 30 из 87Вычисления и преобразования

Линия №8

Найдите tg α, если sin α = $\frac{26}{26}$ и α ∈ (0; $\frac{π}{2}$ ).

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: A3FD10

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 0,2

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Для тангенса нужен косинус; его модуль находим по тождеству, знак задаёт I четверть.

\sin\alpha=\dfrac{\sqrt{26}}{26},\qquad\alpha\in\left(0;\dfrac\pi2\right)

Ключевая идея:

Вычислим cos α > 0, затем разделим sin α на cos α.

\tg\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно это выражение: последовательно выберем формулу, выполним точные преобразования и проверим результат.

Дано:

\sin\alpha=\dfrac{\sqrt{26}}{26},\qquad\alpha\in\left(0;\dfrac\pi2\right)

Нужно найти: значение тангенса угла α.

План решения: Вычислим cos α > 0, затем разделим sin α на cos α.

Поясняющая формула для этой задачи

\cos\alpha=\pm\sqrt{1-\sin^2\alpha},\qquad\tg\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}

Сначала по основному тождеству находят недостающий косинус, затем вычисляют отношение.

Шаг 1. Разберём структуру выражения

Для тангенса нужен косинус; его модуль находим по тождеству, знак задаёт I четверть. Сначала фиксируем исходную запись и выбираем преобразование, которое выполняется точно, без приближённых вычислений.

\sin\alpha=\dfrac{\sqrt{26}}{26},\qquad\alpha\in\left(0;\dfrac\pi2\right)

\tg\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}

Шаг 2. Найдём косинус

В I четверти косинус положителен. Удобно записать оба значения с общим множителем √26/26.

\sin^2\alpha=\dfrac{26}{26^2}=\dfrac1{26}

\cos^2\alpha=1-\dfrac1{26}=\dfrac{25}{26}

\cos\alpha=\dfrac5{\sqrt{26}}=\dfrac{5\sqrt{26}}{26}

Шаг 3. Вычислим тангенс

Деление дробей с одинаковым множителем √26/26 оставляет 1/5.

\tg\alpha=\dfrac{\frac{\sqrt{26}}{26}}{\frac{5\sqrt{26}}{26}}=\dfrac15=0{,}2

Шаг 4. Проверим вычисление и запишем ответ

В I четверти тангенс должен быть положительным; 0,2 > 0.

\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=\dfrac1{26}+\dfrac{25}{26}=1

\tg\alpha=0{,}2>0

Полученное значение совпадает с точной преобразованной записью. В ответ переносим число 0,2.

Ответ:

\tg\alpha=0{,}2

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Связь тангенса с синусом и косинусом
Сначала по основному тождеству находят недостающий косинус, затем вычисляют отношение.
$\cos\alpha=\pm\sqrt{1-\sin^2\alpha},\qquad\tg\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$
Почему правило подходит именно здесь
Вычислим cos α > 0, затем разделим sin α на cos α.
$\sin^2\alpha=\dfrac{26}{26^2}=\dfrac1{26}$
Точный числовой контроль
В I четверти тангенс должен быть положительным; 0,2 > 0.
$\tg\alpha=0{,}2>0$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Взять отрицательный косинус
В I четверти и синус, и косинус положительны.
$0<\alpha<\frac\pi2\Longrightarrow\cos\alpha>0$
Принять √26/26 за 1/26
Только после возведения в квадрат получается 1/26.
$\left(\dfrac{\sqrt{26}}{26}\right)^2=\dfrac1{26}$
Записать промежуточный результат вместо ответа
После преобразования нужно довести вычисление до числа 0,2 и перенести в поле ответа только это число.
$\boxed{\tg\alpha=0{,}2}$

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Исходные данные переписаны верно
Все показатели, корни, основания, углы и знаки совпадают с условием этой задачи.
$\sin\alpha=\dfrac{\sqrt{26}}{26},\qquad\alpha\in\left(0;\dfrac\pi2\right)$
Ключевое преобразование проверено
Вычислим cos α > 0, затем разделим sin α на cos α.
$\cos\alpha=\dfrac5{\sqrt{26}}=\dfrac{5\sqrt{26}}{26}$
Ответ получен точно
В I четверти тангенс должен быть положительным; 0,2 > 0.
$\boxed{\tg\alpha=0{,}2}$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №8Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите tg α, если sin α = 2626​​ и α ∈ (0; 2π​).