Задание 21 из 51Вычисления и преобразования

Линия №8 · Базовый уровень

Найдите значение выражения $lo g_{0, 6} (50) - lo g_{0, 6} (18)$ .

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 5085A6

Ответ:

Показать ответ

Ответ: -2

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

После применения свойства разности получится дробь, связанная с обратной степенью основания 0,6.

\log_{0{,}6}50-\log_{0{,}6}18

Ключевая идея:

Разделим 50 на 18, сократим до 25/9 и заметим, что это (5/3)² = (3/5)⁻².

0{,}6=\dfrac35

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно это выражение: последовательно выберем формулу, выполним точные преобразования и проверим результат.

Дано:

\log_{0{,}6}50-\log_{0{,}6}18

Нужно найти: значение данного выражения.

План решения: Разделим 50 на 18, сократим до 25/9 и заметим, что это (5/3)² = (3/5)⁻².

Поясняющая формула для этой задачи

\log_a x-\log_a y=\log_a\dfrac xy,\qquad a^{-n}=\dfrac1{a^n}

Разность логарифмов объединяется в частное, а обратная степень основания даёт отрицательное значение логарифма.

Шаг 1. Разберём структуру выражения

После применения свойства разности получится дробь, связанная с обратной степенью основания 0,6. Сначала фиксируем исходную запись и выбираем преобразование, которое выполняется точно, без приближённых вычислений.

\log_{0{,}6}50-\log_{0{,}6}18

0{,}6=\dfrac35

Шаг 2. Сократим частное аргументов

Делим 50 на 18 и представляем результат через основание 3/5.

\log_{0{,}6}\dfrac{50}{18}=\log_{0{,}6}\dfrac{25}{9}

\dfrac{25}{9}=\left(\dfrac53\right)^2=\left(\dfrac35\right)^{-2}=(0{,}6)^{-2}

Шаг 3. Прочитаем показатель степени

Логарифм основания в степени −2 равен −2.

\log_{0{,}6}(0{,}6)^{-2}=-2

Шаг 4. Проверим вычисление и запишем ответ

(0,6)⁻² = (5/3)² = 25/9, поэтому показатель −2 верен.

(0{,}6)^{-2}=\left(\dfrac53\right)^2=\dfrac{25}{9}

\log_{0{,}6}\dfrac{25}{9}=-2

Полученное значение совпадает с точной преобразованной записью. В ответ переносим число -2.

Ответ:

-2

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Логарифм частного и отрицательная степень
Разность логарифмов объединяется в частное, а обратная степень основания даёт отрицательное значение логарифма.
$\log_a x-\log_a y=\log_a\dfrac xy,\qquad a^{-n}=\dfrac1{a^n}$
Почему правило подходит именно здесь
Разделим 50 на 18, сократим до 25/9 и заметим, что это (5/3)² = (3/5)⁻².
$\log_{0{,}6}\dfrac{50}{18}=\log_{0{,}6}\dfrac{25}{9}$
Точный числовой контроль
(0,6)⁻² = (5/3)² = 25/9, поэтому показатель −2 верен.
$\log_{0{,}6}\dfrac{25}{9}=-2$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Потерять отрицательный знак
25/9 больше 1, а основание 0,6 меньше 1, поэтому показатель должен быть отрицательным.
$(0{,}6)^{-2}=\dfrac{25}{9}>1$
Не сократить 50/18
Сокращение на 2 раскрывает точный квадрат 25/9.
$\dfrac{50}{18}=\dfrac{25}{9}$
Записать промежуточный результат вместо ответа
После преобразования нужно довести вычисление до числа -2 и перенести в поле ответа только это число.
$\boxed{-2}$

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Исходные данные переписаны верно
Все показатели, корни, основания, углы и знаки совпадают с условием этой задачи.
$\log_{0{,}6}50-\log_{0{,}6}18$
Ключевое преобразование проверено
Разделим 50 на 18, сократим до 25/9 и заметим, что это (5/3)² = (3/5)⁻².
$\dfrac{25}{9}=\left(\dfrac53\right)^2=\left(\dfrac35\right)^{-2}=(0{,}6)^{-2}$
Ответ получен точно
(0,6)⁻² = (5/3)² = 25/9, поэтому показатель −2 верен.
$\boxed{-2}$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №8Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите значение выражения log0,6​(50)−log0,6​(18).