Задание 31 из 87Вычисления и преобразования

Линия №8

Найдите tg α, если cos α = − $\frac{26}{26}$ и α ∈ ( $\frac{π}{2}$ ; π).

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 967F93

Ответ:

Показать ответ

Ответ: -5

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Во II четверти синус положителен, косинус отрицателен, поэтому тангенс будет отрицательным.

\cos\alpha=-\dfrac{\sqrt{26}}{26},\qquad\alpha\in\left(\dfrac\pi2;\pi\right)

Ключевая идея:

Найдём sin α по тождеству и разделим его на данный отрицательный косинус.

\tg\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно это выражение: последовательно выберем формулу, выполним точные преобразования и проверим результат.

Дано:

\cos\alpha=-\dfrac{\sqrt{26}}{26},\qquad\alpha\in\left(\dfrac\pi2;\pi\right)

Нужно найти: значение тангенса угла α.

План решения: Найдём sin α по тождеству и разделим его на данный отрицательный косинус.

Поясняющая формула для этой задачи

\alpha\in II\Longrightarrow(+):(-)=(-)

Во II четверти sin α > 0, cos α < 0, следовательно tg α < 0.

Шаг 1. Разберём структуру выражения

Во II четверти синус положителен, косинус отрицателен, поэтому тангенс будет отрицательным. Сначала фиксируем исходную запись и выбираем преобразование, которое выполняется точно, без приближённых вычислений.

\cos\alpha=-\dfrac{\sqrt{26}}{26},\qquad\alpha\in\left(\dfrac\pi2;\pi\right)

\tg\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}

Шаг 2. Вычислим синус

Квадрат данного косинуса равен 1/26; синус берём с положительным знаком.

\cos^2\alpha=\dfrac1{26}

\sin^2\alpha=1-\dfrac1{26}=\dfrac{25}{26}

\sin\alpha=\dfrac{5\sqrt{26}}{26}

Шаг 3. Найдём отношение синуса к косинусу

Общие множители √26 и 26 сокращаются, знак минус сохраняется.

\tg\alpha=\dfrac{\frac{5\sqrt{26}}{26}}{-\frac{\sqrt{26}}{26}}=-5

Шаг 4. Проверим вычисление и запишем ответ

Тангенс во II четверти отрицателен; модуль 5 согласуется с отношением модулей синуса и косинуса.

\left|\tg\alpha\right|=\dfrac{5\sqrt{26}/26}{\sqrt{26}/26}=5

\tg\alpha=-5

Полученное значение совпадает с точной преобразованной записью. В ответ переносим число -5.

Ответ:

\tg\alpha=-5

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Знаки функций по четвертям
Во II четверти sin α > 0, cos α < 0, следовательно tg α < 0.
$\alpha\in II\Longrightarrow(+):(-)=(-)$
Почему правило подходит именно здесь
Найдём sin α по тождеству и разделим его на данный отрицательный косинус.
$\cos^2\alpha=\dfrac1{26}$
Точный числовой контроль
Тангенс во II четверти отрицателен; модуль 5 согласуется с отношением модулей синуса и косинуса.
$\tg\alpha=-5$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Потерять минус косинуса при делении
Положительный синус делится на отрицательный косинус, поэтому ответ отрицателен.
$\dfrac{+}{-}=-$
Взять отрицательный синус
Во II четверти синус положителен.
$\alpha\in\left(\frac\pi2;\pi\right)\Longrightarrow\sin\alpha>0$
Записать промежуточный результат вместо ответа
После преобразования нужно довести вычисление до числа -5 и перенести в поле ответа только это число.
$\boxed{\tg\alpha=-5}$

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Исходные данные переписаны верно
Все показатели, корни, основания, углы и знаки совпадают с условием этой задачи.
$\cos\alpha=-\dfrac{\sqrt{26}}{26},\qquad\alpha\in\left(\dfrac\pi2;\pi\right)$
Ключевое преобразование проверено
Найдём sin α по тождеству и разделим его на данный отрицательный косинус.
$\sin\alpha=\dfrac{5\sqrt{26}}{26}$
Ответ получен точно
Тангенс во II четверти отрицателен; модуль 5 согласуется с отношением модулей синуса и косинуса.
$\boxed{\tg\alpha=-5}$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №8Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите tg α, если cos α = −2626​​ и α ∈ (2π​; π).