Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
↪ВойтиЧерез VK ID
Меню
Задание 43 из 51Вычисления и преобразования
Линия №8 · Базовый уровень

Найдите значение выражения .

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 11A20A

Показать ответ

Ответ: -0,5

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Произведение синуса и косинуса сводится к синусу угла 7π/4.

2sin⁡7π8cos⁡7π8\sqrt2\sin\dfrac{7\pi}8\cos\dfrac{7\pi}8
Ключевая идея:

Применим формулу двойного угла и учтём отрицательный синус в IV четверти.

sin⁡xcos⁡x=12sin⁡2x\sin x\cos x=\dfrac12\sin2x
Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно это выражение: последовательно выберем формулу, выполним точные преобразования и проверим результат.

Дано:

2sin⁡7π8cos⁡7π8\sqrt2\sin\dfrac{7\pi}8\cos\dfrac{7\pi}8

Нужно найти: значение данного выражения.

План решения: Применим формулу двойного угла и учтём отрицательный синус в IV четверти.

Поясняющая формула для этой задачи

2sin⁡xcos⁡x=sin⁡2x2\sin x\cos x=\sin2x

После удвоения 7π/8 получаем 7π/4 — табличный угол IV четверти.

Шаг 1. Разберём структуру выражения

Произведение синуса и косинуса сводится к синусу угла 7π/4. Сначала фиксируем исходную запись и выбираем преобразование, которое выполняется точно, без приближённых вычислений.

2sin⁡7π8cos⁡7π8\sqrt2\sin\dfrac{7\pi}8\cos\dfrac{7\pi}8sin⁡xcos⁡x=12sin⁡2x\sin x\cos x=\dfrac12\sin2x

Шаг 2. Удвоим угол

2·7π/8 = 7π/4, где синус отрицателен.

2sin⁡7π8cos⁡7π8=22sin⁡7π4\sqrt2\sin\dfrac{7\pi}8\cos\dfrac{7\pi}8=\dfrac{\sqrt2}{2}\sin\dfrac{7\pi}4sin⁡7π4=−22\sin\dfrac{7\pi}4=-\dfrac{\sqrt2}{2}

Шаг 3. Упростим корни

Перемножаем √2, −√2 и два знаменателя 2.

22⋅(−22)=−24=−12=−0,5\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\left(-\dfrac{\sqrt2}{2}\right)=-\dfrac24=-\dfrac12=-0{,}5

Шаг 4. Проверим вычисление и запишем ответ

При 7π/8 синус положителен, косинус отрицателен, поэтому исходное произведение отрицательно.

sin⁡7π8>0,cos⁡7π8<0\sin\dfrac{7\pi}8>0,\qquad\cos\dfrac{7\pi}8<0−12=−0,5-\dfrac12=-0{,}5

Полученное значение совпадает с точной преобразованной записью. В ответ переносим число -0,5.

Ответ:−0,5-0{,}5
Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач
  • Синус двойного угла

    После удвоения 7π/8 получаем 7π/4 — табличный угол IV четверти.

    2sin⁡xcos⁡x=sin⁡2x2\sin x\cos x=\sin2x
  • Почему правило подходит именно здесь

    Применим формулу двойного угла и учтём отрицательный синус в IV четверти.

    2sin⁡7π8cos⁡7π8=22sin⁡7π4\sqrt2\sin\dfrac{7\pi}8\cos\dfrac{7\pi}8=\dfrac{\sqrt2}{2}\sin\dfrac{7\pi}4
  • Точный числовой контроль

    При 7π/8 синус положителен, косинус отрицателен, поэтому исходное произведение отрицательно.

    −12=−0,5-\dfrac12=-0{,}5
Открыть теорию по математике →
Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом
  • Взять sin(7π/4) положительным

    7π/4 находится в IV четверти, где синус отрицателен.

    sin⁡7π4=−22\sin\dfrac{7\pi}4=-\dfrac{\sqrt2}{2}
  • Получить −√2/2

    Внешний √2 тоже умножается на табличный √2, поэтому корни исчезают.

    2⋅2=2\sqrt2\cdot\sqrt2=2
  • Записать промежуточный результат вместо ответа

    После преобразования нужно довести вычисление до числа -0,5 и перенести в поле ответа только это число.

    −0,5\boxed{-0{,}5}
Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом
  • Исходные данные переписаны верно

    Все показатели, корни, основания, углы и знаки совпадают с условием этой задачи.

    2sin⁡7π8cos⁡7π8\sqrt2\sin\dfrac{7\pi}8\cos\dfrac{7\pi}8
  • Ключевое преобразование проверено

    Применим формулу двойного угла и учтём отрицательный синус в IV четверти.

    sin⁡7π4=−22\sin\dfrac{7\pi}4=-\dfrac{\sqrt2}{2}
  • Ответ получен точно

    При 7π/8 синус положителен, косинус отрицателен, поэтому исходное произведение отрицательно.

    −0,5\boxed{-0{,}5}
Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №8
Все задания линии №8 →
Вычисления и преобразованияНайдите значение выражения 5 ⋅ 25.FIPI ID 224219Вычисления и преобразованияНайдите значение выражения 4 ⋅ 16.FIPI ID C1F1E2Вычисления и преобразованияНайдите значение выражения .FIPI ID CCEA21Вычисления и преобразованияНайдите значение выражения .FIPI ID 61C181Вычисления и преобразованияНайдите значение выражения (4) : 4.FIPI ID 41CD19Вычисления и преобразованияНайдите значение выражения (2) : 2.FIPI ID 95FEEB
Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ
Все задания линии №8Перейти к списку и выбрать следующую задачуБанк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭКонструктор вариантаСобрать тренировочный вариантПробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена