Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
↪ВойтиЧерез VK ID
Меню
Задание 29 из 51Вычисления и преобразования
Линия №8 · Базовый уровень

Найдите sin α, если cos α = − и α ∈ (; π).

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 4B912B

Показать ответ

Ответ: 0,4

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Известен косинус и указана II четверть, поэтому модуль синуса находим по основному тождеству, а знак — по четверти.

cos⁡α=−215,α∈(π2;π)\cos\alpha=-\dfrac{\sqrt{21}}5,\qquad\alpha\in\left(\dfrac\pi2;\pi\right)
Ключевая идея:

Вычислим sin²α = 1 − cos²α; во II четверти синус положителен.

sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1
Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно это выражение: последовательно выберем формулу, выполним точные преобразования и проверим результат.

Дано:

cos⁡α=−215,α∈(π2;π)\cos\alpha=-\dfrac{\sqrt{21}}5,\qquad\alpha\in\left(\dfrac\pi2;\pi\right)

Нужно найти: значение синуса угла α.

План решения: Вычислим sin²α = 1 − cos²α; во II четверти синус положителен.

Поясняющая формула для этой задачи

sin⁡α=±1−cos⁡2α\sin\alpha=\pm\sqrt{1-\cos^2\alpha}

Квадраты синуса и косинуса одного угла в сумме дают 1; знак корня определяется четвертью.

Шаг 1. Разберём структуру выражения

Известен косинус и указана II четверть, поэтому модуль синуса находим по основному тождеству, а знак — по четверти. Сначала фиксируем исходную запись и выбираем преобразование, которое выполняется точно, без приближённых вычислений.

cos⁡α=−215,α∈(π2;π)\cos\alpha=-\dfrac{\sqrt{21}}5,\qquad\alpha\in\left(\dfrac\pi2;\pi\right)sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1

Шаг 2. Найдём квадрат синуса

Квадрат отрицательного косинуса положителен: знак минус исчезает только после возведения в квадрат.

cos⁡2α=(−215)2=2125\cos^2\alpha=\left(-\dfrac{\sqrt{21}}5\right)^2=\dfrac{21}{25}sin⁡2α=1−2125=425\sin^2\alpha=1-\dfrac{21}{25}=\dfrac4{25}

Шаг 3. Выберем знак синуса

Во II четверти sin α > 0, поэтому берём положительный корень.

sin⁡α=425=25=0,4\sin\alpha=\sqrt{\dfrac4{25}}=\dfrac25=0{,}4

Шаг 4. Проверим вычисление и запишем ответ

Проверяем тождество: 4/25 + 21/25 = 1 и знак синуса положителен.

425+2125=1\dfrac4{25}+\dfrac{21}{25}=1sin⁡α=0,4>0\sin\alpha=0{,}4>0

Полученное значение совпадает с точной преобразованной записью. В ответ переносим число 0,4.

Ответ:sin⁡α=0,4\sin\alpha=0{,}4
Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач
  • Основное тригонометрическое тождество

    Квадраты синуса и косинуса одного угла в сумме дают 1; знак корня определяется четвертью.

    sin⁡α=±1−cos⁡2α\sin\alpha=\pm\sqrt{1-\cos^2\alpha}
  • Почему правило подходит именно здесь

    Вычислим sin²α = 1 − cos²α; во II четверти синус положителен.

    cos⁡2α=(−215)2=2125\cos^2\alpha=\left(-\dfrac{\sqrt{21}}5\right)^2=\dfrac{21}{25}
  • Точный числовой контроль

    Проверяем тождество: 4/25 + 21/25 = 1 и знак синуса положителен.

    sin⁡α=0,4>0\sin\alpha=0{,}4>0
Открыть теорию по математике →
Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом
  • Выбрать отрицательный синус из-за отрицательного косинуса

    Во II четверти косинус отрицателен, а синус положителен.

    α∈II⟹sin⁡α>0, cos⁡α<0\alpha\in II\Longrightarrow\sin\alpha>0,\ \cos\alpha<0
  • Не возвести знаменатель 5 в квадрат

    При вычислении cos²α квадрат применяется к числителю и знаменателю.

    (215)2=2125\left(\dfrac{\sqrt{21}}5\right)^2=\dfrac{21}{25}
  • Записать промежуточный результат вместо ответа

    После преобразования нужно довести вычисление до числа 0,4 и перенести в поле ответа только это число.

    sin⁡α=0,4\boxed{\sin\alpha=0{,}4}
Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом
  • Исходные данные переписаны верно

    Все показатели, корни, основания, углы и знаки совпадают с условием этой задачи.

    cos⁡α=−215,α∈(π2;π)\cos\alpha=-\dfrac{\sqrt{21}}5,\qquad\alpha\in\left(\dfrac\pi2;\pi\right)
  • Ключевое преобразование проверено

    Вычислим sin²α = 1 − cos²α; во II четверти синус положителен.

    sin⁡2α=1−2125=425\sin^2\alpha=1-\dfrac{21}{25}=\dfrac4{25}
  • Ответ получен точно

    Проверяем тождество: 4/25 + 21/25 = 1 и знак синуса положителен.

    sin⁡α=0,4\boxed{\sin\alpha=0{,}4}
Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №8
Все задания линии №8 →
Вычисления и преобразованияНайдите значение выражения 5 ⋅ 25.FIPI ID 224219Вычисления и преобразованияНайдите значение выражения 4 ⋅ 16.FIPI ID C1F1E2Вычисления и преобразованияНайдите значение выражения .FIPI ID CCEA21Вычисления и преобразованияНайдите значение выражения .FIPI ID 61C181Вычисления и преобразованияНайдите значение выражения (4) : 4.FIPI ID 41CD19Вычисления и преобразованияНайдите значение выражения (2) : 2.FIPI ID 95FEEB
Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ
Все задания линии №8Перейти к списку и выбрать следующую задачуБанк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭКонструктор вариантаСобрать тренировочный вариантПробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена