Задание 36 из 51Вычисления и преобразования

Линия №8 · Базовый уровень

Найдите значение выражения $262 \cdot cos (\frac{π}{4}) \cdot cos (\frac{4 π}{3})$ .

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 9017F9

Ответ:

Показать ответ

Ответ: -13

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Оба угла табличные; важно определить знак косинуса 4π/3.

26\sqrt2\cos\dfrac\pi4\cos\dfrac{4\pi}3

Ключевая идея:

Подставим cos(π/4) = √2/2 и cos(4π/3) = −1/2, затем сократим корни.

\cos\dfrac\pi4=\dfrac{\sqrt2}{2},\qquad\cos\dfrac{4\pi}3=-\dfrac12

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно это выражение: последовательно выберем формулу, выполним точные преобразования и проверим результат.

Дано:

26\sqrt2\cos\dfrac\pi4\cos\dfrac{4\pi}3

Нужно найти: значение данного выражения.

План решения: Подставим cos(π/4) = √2/2 и cos(4π/3) = −1/2, затем сократим корни.

Поясняющая формула для этой задачи

\cos(\pi+\beta)=-\cos\beta

Угол 4π/3 находится в III четверти, где косинус отрицателен; его опорный угол равен π/3.

Шаг 1. Разберём структуру выражения

Оба угла табличные; важно определить знак косинуса 4π/3. Сначала фиксируем исходную запись и выбираем преобразование, которое выполняется точно, без приближённых вычислений.

26\sqrt2\cos\dfrac\pi4\cos\dfrac{4\pi}3

\cos\dfrac\pi4=\dfrac{\sqrt2}{2},\qquad\cos\dfrac{4\pi}3=-\dfrac12

Шаг 2. Подставим точные значения

Не переводим радианы в десятичные приближения.

26\sqrt2\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\left(-\dfrac12\right)

Шаг 3. Сократим корни и знаменатели

√2·√2 = 2, затем 2 сокращается с первым знаменателем 2.

26\sqrt2\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=26

26\cdot\left(-\dfrac12\right)=-13

Шаг 4. Проверим вычисление и запишем ответ

Один косинус положителен, другой отрицателен, поэтому ответ обязан быть отрицательным.

(+ )\cdot(- )=(-)

26\cdot\left(-\dfrac12\right)=-13

Полученное значение совпадает с точной преобразованной записью. В ответ переносим число -13.

Ответ:

-13

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Табличные значения и четверть
Угол 4π/3 находится в III четверти, где косинус отрицателен; его опорный угол равен π/3.
$\cos(\pi+\beta)=-\cos\beta$
Почему правило подходит именно здесь
Подставим cos(π/4) = √2/2 и cos(4π/3) = −1/2, затем сократим корни.
$26\sqrt2\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\left(-\dfrac12\right)$
Точный числовой контроль
Один косинус положителен, другой отрицателен, поэтому ответ обязан быть отрицательным.
$26\cdot\left(-\dfrac12\right)=-13$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Взять cos(4π/3) = 1/2
В III четверти косинус отрицателен.
$\cos\dfrac{4\pi}3=-\dfrac12$
Считать √2·√2 равным √4 без завершения
√4 = 2, и этот множитель сокращает знаменатель 2.
$\sqrt2\cdot\sqrt2=2$
Записать промежуточный результат вместо ответа
После преобразования нужно довести вычисление до числа -13 и перенести в поле ответа только это число.
$\boxed{-13}$

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Исходные данные переписаны верно
Все показатели, корни, основания, углы и знаки совпадают с условием этой задачи.
$26\sqrt2\cos\dfrac\pi4\cos\dfrac{4\pi}3$
Ключевое преобразование проверено
Подставим cos(π/4) = √2/2 и cos(4π/3) = −1/2, затем сократим корни.
$26\sqrt2\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\left(-\dfrac12\right)$
Ответ получен точно
Один косинус положителен, другой отрицателен, поэтому ответ обязан быть отрицательным.
$\boxed{-13}$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №8Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите значение выражения 262​⋅cos(4π​)⋅cos(34π​).