Задание 41 из 51Вычисления и преобразования

Линия №8 · Базовый уровень

Найдите значение выражения $52 \cdot sin (\frac{3 π}{8}) \cdot cos (\frac{3 π}{8})$ .

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 0444D9

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 2,5

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Произведение синуса и косинуса одного угла заменяется половиной синуса двойного угла.

5\sqrt2\sin\dfrac{3\pi}8\cos\dfrac{3\pi}8

Ключевая идея:

Применим sin x cos x = sin2x/2 при x = 3π/8 и используем табличный sin3π/4.

\sin x\cos x=\dfrac12\sin2x

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно это выражение: последовательно выберем формулу, выполним точные преобразования и проверим результат.

Дано:

5\sqrt2\sin\dfrac{3\pi}8\cos\dfrac{3\pi}8

Нужно найти: значение данного выражения.

План решения: Применим sin x cos x = sin2x/2 при x = 3π/8 и используем табличный sin3π/4.

Поясняющая формула для этой задачи

2\sin x\cos x=\sin2x

Она позволяет заменить произведение двух неизвестных значений одним табличным синусом.

Шаг 1. Разберём структуру выражения

Произведение синуса и косинуса одного угла заменяется половиной синуса двойного угла. Сначала фиксируем исходную запись и выбираем преобразование, которое выполняется точно, без приближённых вычислений.

5\sqrt2\sin\dfrac{3\pi}8\cos\dfrac{3\pi}8

\sin x\cos x=\dfrac12\sin2x

Шаг 2. Удвоим угол

Двойной угол для 3π/8 равен 3π/4.

\sin\dfrac{3\pi}8\cos\dfrac{3\pi}8=\dfrac12\sin\dfrac{3\pi}4

\sin\dfrac{3\pi}4=\dfrac{\sqrt2}{2}

Шаг 3. Подставим и упростим

Произведение двух √2 даёт 2.

5\sqrt2\cdot\dfrac12\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=\dfrac{5\cdot2}{4}=\dfrac52=2{,}5

Шаг 4. Проверим вычисление и запишем ответ

В I и II четвертях соответствующие значения синуса положительны, поэтому итог положительный.

\dfrac{5\cdot2}{4}=\dfrac52

\dfrac52=2{,}5

Полученное значение совпадает с точной преобразованной записью. В ответ переносим число 2,5.

Ответ:

2{,}5

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Половинная форма синуса двойного угла
Она позволяет заменить произведение двух неизвестных значений одним табличным синусом.
$2\sin x\cos x=\sin2x$
Почему правило подходит именно здесь
Применим sin x cos x = sin2x/2 при x = 3π/8 и используем табличный sin3π/4.
$\sin\dfrac{3\pi}8\cos\dfrac{3\pi}8=\dfrac12\sin\dfrac{3\pi}4$
Точный числовой контроль
В I и II четвертях соответствующие значения синуса положительны, поэтому итог положительный.
$\dfrac52=2{,}5$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Забыть деление на 2
Из формулы sin2x = 2sin x cos x следует именно половина синуса двойного угла.
$\sin x\cos x=\frac12\sin2x$
Удвоить 3π/8 до 3π/16
При удвоении числитель умножается на 2: 2·3π/8 = 3π/4.
$2\cdot\dfrac{3\pi}8=\dfrac{3\pi}4$
Записать промежуточный результат вместо ответа
После преобразования нужно довести вычисление до числа 2,5 и перенести в поле ответа только это число.
$\boxed{2{,}5}$

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Исходные данные переписаны верно
Все показатели, корни, основания, углы и знаки совпадают с условием этой задачи.
$5\sqrt2\sin\dfrac{3\pi}8\cos\dfrac{3\pi}8$
Ключевое преобразование проверено
Применим sin x cos x = sin2x/2 при x = 3π/8 и используем табличный sin3π/4.
$\sin\dfrac{3\pi}4=\dfrac{\sqrt2}{2}$
Ответ получен точно
В I и II четвертях соответствующие значения синуса положительны, поэтому итог положительный.
$\boxed{2{,}5}$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №8Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите значение выражения 52​⋅sin(83π​)⋅cos(83π​).