Задание 11 из 51Вычисления и преобразования

Линия №8 · Базовый уровень

Найдите значение выражения $\frac{3 36 \cdot 5 36}{30 36}$ .

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 68CF2D

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 6

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Корни имеют разные показатели, поэтому удобнее перейти к дробным степеням.

\dfrac{\sqrt[3]{36}\cdot\sqrt[5]{36}}{\sqrt[30]{36}}

Ключевая идея:

Запишем каждый корень как степень числа 36 и сложим показатели числителя, вычитая показатель знаменателя.

\sqrt[n]{a}=a^{\frac1n}

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно это выражение: последовательно выберем формулу, выполним точные преобразования и проверим результат.

Дано:

\dfrac{\sqrt[3]{36}\cdot\sqrt[5]{36}}{\sqrt[30]{36}}

Нужно найти: значение данного выражения.

План решения: Запишем каждый корень как степень числа 36 и сложим показатели числителя, вычитая показатель знаменателя.

Поясняющая формула для этой задачи

\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac mn}

Показатель корня становится знаменателем дробного показателя степени.

Шаг 1. Разберём структуру выражения

Корни имеют разные показатели, поэтому удобнее перейти к дробным степеням. Сначала фиксируем исходную запись и выбираем преобразование, которое выполняется точно, без приближённых вычислений.

\dfrac{\sqrt[3]{36}\cdot\sqrt[5]{36}}{\sqrt[30]{36}}

\sqrt[n]{a}=a^{\frac1n}

Шаг 2. Перепишем корни степенями

Общее основание 36 позволяет объединить все три показателя.

36^{\frac13}\cdot36^{\frac15}:36^{\frac1{30}}=36^{\frac13+\frac15-\frac1{30}}

\frac13+\frac15-\frac1{30}=\frac{10+6-1}{30}=\frac12

Шаг 3. Вычислим степень 1/2

Степень 1/2 — это квадратный корень.

36^{\frac12}=\sqrt{36}=6

Шаг 4. Проверим вычисление и запишем ответ

Сумма дробных показателей равна 1/2, а 6² = 36.

\frac{10+6-1}{30}=\frac12

6^2=36

Полученное значение совпадает с точной преобразованной записью. В ответ переносим число 6.

Ответ:

6

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Корень как дробная степень
Показатель корня становится знаменателем дробного показателя степени.
$\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac mn}$
Почему правило подходит именно здесь
Запишем каждый корень как степень числа 36 и сложим показатели числителя, вычитая показатель знаменателя.
$36^{\frac13}\cdot36^{\frac15}:36^{\frac1{30}}=36^{\frac13+\frac15-\frac1{30}}$
Точный числовой контроль
Сумма дробных показателей равна 1/2, а 6² = 36.
$6^2=36$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Сложить показатели корней 3, 5 и 30
Складываются дробные показатели 1/3, 1/5 и −1/30.
$\frac13+\frac15-\frac1{30}=\frac12$
Не вычесть показатель знаменателя
Корень тридцатой степени находится в знаменателе, поэтому его показатель входит со знаком минус.
$-\frac1{30}$
Записать промежуточный результат вместо ответа
После преобразования нужно довести вычисление до числа 6 и перенести в поле ответа только это число.
$\boxed{6}$

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Исходные данные переписаны верно
Все показатели, корни, основания, углы и знаки совпадают с условием этой задачи.
$\dfrac{\sqrt[3]{36}\cdot\sqrt[5]{36}}{\sqrt[30]{36}}$
Ключевое преобразование проверено
Запишем каждый корень как степень числа 36 и сложим показатели числителя, вычитая показатель знаменателя.
$\frac13+\frac15-\frac1{30}=\frac{10+6-1}{30}=\frac12$
Ответ получен точно
Сумма дробных показателей равна 1/2, а 6² = 36.
$\boxed{6}$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №8Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите значение выражения 3036​336​⋅536​​.