Задание 26 из 51Вычисления и преобразования

Линия №8 · Базовый уровень

Найдите значение выражения $\frac{l o g _{7} ( 32 )}{l o g _{7} ( 2 )}$ .

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 424680

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 5

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Отношение логарифмов с одним старым основанием является формулой перехода к новому основанию.

\dfrac{\log_7 32}{\log_7 2}

Ключевая идея:

Перейдём от основания 7 к основанию 2: отношение станет log₂32.

\dfrac{\log_a b}{\log_a c}=\log_c b

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно это выражение: последовательно выберем формулу, выполним точные преобразования и проверим результат.

Дано:

\dfrac{\log_7 32}{\log_7 2}

Нужно найти: значение данного выражения.

План решения: Перейдём от основания 7 к основанию 2: отношение станет log₂32.

Поясняющая формула для этой задачи

\log_c b=\dfrac{\log_a b}{\log_a c}

Отношение логарифмов одного аргумента b и нового основания c по общей базе a равно log_c b.

Шаг 1. Разберём структуру выражения

Отношение логарифмов с одним старым основанием является формулой перехода к новому основанию. Сначала фиксируем исходную запись и выбираем преобразование, которое выполняется точно, без приближённых вычислений.

\dfrac{\log_7 32}{\log_7 2}

\dfrac{\log_a b}{\log_a c}=\log_c b

Шаг 2. Сменим основание логарифма

Знаменатель log₇2 задаёт новое основание 2.

\dfrac{\log_7 32}{\log_7 2}=\log_2 32

Шаг 3. Найдём степень двойки

32 = 2⁵.

32=2^5

\log_2 32=5

Шаг 4. Проверим вычисление и запишем ответ

Подстановка 32 = 2⁵ даёт log₇32 = 5 log₇2, поэтому отношение равно 5.

\log_7 32=\log_7 2^5=5\log_7 2

\dfrac{5\log_7 2}{\log_7 2}=5

Полученное значение совпадает с точной преобразованной записью. В ответ переносим число 5.

Ответ:

5

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Переход к новому основанию
Отношение логарифмов одного аргумента b и нового основания c по общей базе a равно log_c b.
$\log_c b=\dfrac{\log_a b}{\log_a c}$
Почему правило подходит именно здесь
Перейдём от основания 7 к основанию 2: отношение станет log₂32.
$\dfrac{\log_7 32}{\log_7 2}=\log_2 32$
Точный числовой контроль
Подстановка 32 = 2⁵ даёт log₇32 = 5 log₇2, поэтому отношение равно 5.
$\dfrac{5\log_7 2}{\log_7 2}=5$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Сократить цифры 7
Сокращается не основание; применяется формула перехода к основанию 2.
$\dfrac{\log_7 32}{\log_7 2}=\log_2 32$
Перевернуть новый логарифм
Аргумент 32 остаётся аргументом, число 2 из знаменателя становится основанием.
$\log_2 32,\quad\text{не }\log_{32}2$
Записать промежуточный результат вместо ответа
После преобразования нужно довести вычисление до числа 5 и перенести в поле ответа только это число.
$\boxed{5}$

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Исходные данные переписаны верно
Все показатели, корни, основания, углы и знаки совпадают с условием этой задачи.
$\dfrac{\log_7 32}{\log_7 2}$
Ключевое преобразование проверено
Перейдём от основания 7 к основанию 2: отношение станет log₂32.
$\dfrac{\log_7 32}{\log_7 2}=\log_2 32$
Ответ получен точно
Подстановка 32 = 2⁵ даёт log₇32 = 5 log₇2, поэтому отношение равно 5.
$\boxed{5}$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №8Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите значение выражения log7​(2)log7​(32)​.