Задание 28 из 51Вычисления и преобразования

Линия №8 · Базовый уровень

Найдите значение выражения $\frac{l o g _{9} ( 28 )}{l o g _{9} ( 7 )} + lo g_{7} (\frac{7}{4})$ .

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 4D0B96

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 2

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Первое отношение переводится к основанию 7, после чего оба логарифма будут иметь одно основание.

\dfrac{\log_9 28}{\log_9 7}+\log_7\dfrac74

Ключевая идея:

Получим log₇28 + log₇(7/4), объединим сумму и найдём log₇49.

\dfrac{\log_9 28}{\log_9 7}=\log_7 28

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно это выражение: последовательно выберем формулу, выполним точные преобразования и проверим результат.

Дано:

\dfrac{\log_9 28}{\log_9 7}+\log_7\dfrac74

Нужно найти: значение данного выражения.

План решения: Получим log₇28 + log₇(7/4), объединим сумму и найдём log₇49.

Поясняющая формула для этой задачи

\dfrac{\log_a x}{\log_a b}=\log_b x,\qquad\log_bx+\log_by=\log_b(xy)

Сначала отношение логарифмов превращается в логарифм по новому основанию, затем сумма — в логарифм произведения.

Шаг 1. Разберём структуру выражения

Первое отношение переводится к основанию 7, после чего оба логарифма будут иметь одно основание. Сначала фиксируем исходную запись и выбираем преобразование, которое выполняется точно, без приближённых вычислений.

\dfrac{\log_9 28}{\log_9 7}+\log_7\dfrac74

\dfrac{\log_9 28}{\log_9 7}=\log_7 28

Шаг 2. Приведём логарифмы к основанию 7

После смены основания объединяем два положительных аргумента произведением.

\dfrac{\log_9 28}{\log_9 7}+\log_7\dfrac74=\log_7 28+\log_7\dfrac74

=\log_7\left(28\cdot\dfrac74\right)

Шаг 3. Упростим аргумент

28 делим на 4 и умножаем на 7.

28\cdot\dfrac74=7\cdot7=49

\log_7 49=\log_7 7^2=2

Шаг 4. Проверим вычисление и запишем ответ

7² = 49, а все аргументы логарифмов положительны.

28>0,\quad7>0,\quad\dfrac74>0

7^2=49

Полученное значение совпадает с точной преобразованной записью. В ответ переносим число 2.

Ответ:

2

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Смена основания и логарифм произведения
Сначала отношение логарифмов превращается в логарифм по новому основанию, затем сумма — в логарифм произведения.
$\dfrac{\log_a x}{\log_a b}=\log_b x,\qquad\log_bx+\log_by=\log_b(xy)$
Почему правило подходит именно здесь
Получим log₇28 + log₇(7/4), объединим сумму и найдём log₇49.
$\dfrac{\log_9 28}{\log_9 7}+\log_7\dfrac74=\log_7 28+\log_7\dfrac74$
Точный числовой контроль
7² = 49, а все аргументы логарифмов положительны.
$7^2=49$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Сложить логарифмы до смены основания
Сначала нужно получить одинаковое основание 7; только после этого применяется формула суммы.
$\dfrac{\log_9 28}{\log_9 7}=\log_7 28$
Перевернуть 7/4
Аргумент второго логарифма остаётся 7/4, поэтому произведение равно 49.
$28\cdot\dfrac74=49$
Записать промежуточный результат вместо ответа
После преобразования нужно довести вычисление до числа 2 и перенести в поле ответа только это число.
$\boxed{2}$

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Исходные данные переписаны верно
Все показатели, корни, основания, углы и знаки совпадают с условием этой задачи.
$\dfrac{\log_9 28}{\log_9 7}+\log_7\dfrac74$
Ключевое преобразование проверено
Получим log₇28 + log₇(7/4), объединим сумму и найдём log₇49.
$=\log_7\left(28\cdot\dfrac74\right)$
Ответ получен точно
7² = 49, а все аргументы логарифмов положительны.
$\boxed{2}$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №8Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите значение выражения log9​(7)log9​(28)​+log7​(47​).