Задание 8 из 51Вычисления и преобразования

Линия №8 · Базовый уровень

Найдите значение выражения $\frac{1 4 ^{6, 4} \cdot 7 ^{- 5, 4}}{2 ^{4, 4}}$ .

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 330712

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 28

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Составное основание 14 раскладывается на множители 2 и 7.

\dfrac{14^{6{,}4}\cdot7^{-5{,}4}}{2^{4{,}4}}

Ключевая идея:

Используем (2·7)^6,4 = 2^6,4·7^6,4 и соберём отдельно степени двойки и семёрки.

14^{6{,}4}=(2\cdot7)^{6{,}4}=2^{6{,}4}7^{6{,}4}

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно это выражение: последовательно выберем формулу, выполним точные преобразования и проверим результат.

Дано:

\dfrac{14^{6{,}4}\cdot7^{-5{,}4}}{2^{4{,}4}}

Нужно найти: значение данного выражения.

План решения: Используем (2·7)^6,4 = 2^6,4·7^6,4 и соберём отдельно степени двойки и семёрки.

Поясняющая формула для этой задачи

(ab)^r=a^r b^r

Степень произведения равна произведению степеней; показатели одинаковых оснований затем складываются или вычитаются.

Шаг 1. Разберём структуру выражения

Составное основание 14 раскладывается на множители 2 и 7. Сначала фиксируем исходную запись и выбираем преобразование, которое выполняется точно, без приближённых вычислений.

\dfrac{14^{6{,}4}\cdot7^{-5{,}4}}{2^{4{,}4}}

14^{6{,}4}=(2\cdot7)^{6{,}4}=2^{6{,}4}7^{6{,}4}

Шаг 2. Разложим основание 14

После разложения группируем степени 2 и степени 7.

\dfrac{2^{6{,}4}7^{6{,}4}\cdot7^{-5{,}4}}{2^{4{,}4}}

=2^{6{,}4-4{,}4}\cdot7^{6{,}4+(-5{,}4)}

Шаг 3. Вычислим новые показатели

Для двойки получаем показатель 2, для семёрки — показатель 1.

6{,}4-4{,}4=2,\qquad6{,}4-5{,}4=1

2^2\cdot7^1=4\cdot7=28

Шаг 4. Проверим вычисление и запишем ответ

Отрицательный показатель −5,4 уменьшает показатель семёрки: 6,4 − 5,4 = 1.

7^{6{,}4}\cdot7^{-5{,}4}=7^1

2^2\cdot7=28

Полученное значение совпадает с точной преобразованной записью. В ответ переносим число 28.

Ответ:

28

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Степень произведения
Степень произведения равна произведению степеней; показатели одинаковых оснований затем складываются или вычитаются.
$(ab)^r=a^r b^r$
Почему правило подходит именно здесь
Используем (2·7)^6,4 = 2^6,4·7^6,4 и соберём отдельно степени двойки и семёрки.
$\dfrac{2^{6{,}4}7^{6{,}4}\cdot7^{-5{,}4}}{2^{4{,}4}}$
Точный числовой контроль
Отрицательный показатель −5,4 уменьшает показатель семёрки: 6,4 − 5,4 = 1.
$2^2\cdot7=28$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Потерять минус в показателе −5,4
При сложении 6,4 и −5,4 получается 1, а не 11,8.
$6{,}4+(-5{,}4)=1$
Разделить 14 только на 2
Нужно разложить 14 как произведение 2·7 и распределить степень на оба множителя.
$14^{6{,}4}=2^{6{,}4}7^{6{,}4}$
Записать промежуточный результат вместо ответа
После преобразования нужно довести вычисление до числа 28 и перенести в поле ответа только это число.
$\boxed{28}$

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Исходные данные переписаны верно
Все показатели, корни, основания, углы и знаки совпадают с условием этой задачи.
$\dfrac{14^{6{,}4}\cdot7^{-5{,}4}}{2^{4{,}4}}$
Ключевое преобразование проверено
Используем (2·7)^6,4 = 2^6,4·7^6,4 и соберём отдельно степени двойки и семёрки.
$=2^{6{,}4-4{,}4}\cdot7^{6{,}4+(-5{,}4)}$
Ответ получен точно
Отрицательный показатель −5,4 уменьшает показатель семёрки: 6,4 − 5,4 = 1.
$\boxed{28}$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №8Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите значение выражения 24,4146,4⋅7−5,4​.