Задание 18 из 51Вычисления и преобразования

Линия №8 · Базовый уровень

Найдите значение выражения $lo g_{0, 7} (10) - lo g_{0, 7} (7)$ .

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: AA2E29

Ответ:

Показать ответ

Ответ: -1

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Разность логарифмов с одинаковым основанием переводится в логарифм частного.

\log_{0{,}7}10-\log_{0{,}7}7

Ключевая идея:

Получим аргумент 10/7 и представим его как обратное число к основанию 0,7 = 7/10.

\log_a x-\log_a y=\log_a\dfrac xy

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно это выражение: последовательно выберем формулу, выполним точные преобразования и проверим результат.

Дано:

\log_{0{,}7}10-\log_{0{,}7}7

Нужно найти: значение данного выражения.

План решения: Получим аргумент 10/7 и представим его как обратное число к основанию 0,7 = 7/10.

Поясняющая формула для этой задачи

\log_a x-\log_a y=\log_a\left(\dfrac{x}{y}\right)

Разность логарифмов положительных аргументов при одинаковом основании равна логарифму их частного.

Шаг 1. Разберём структуру выражения

Разность логарифмов с одинаковым основанием переводится в логарифм частного. Сначала фиксируем исходную запись и выбираем преобразование, которое выполняется точно, без приближённых вычислений.

\log_{0{,}7}10-\log_{0{,}7}7

\log_a x-\log_a y=\log_a\dfrac xy

Шаг 2. Объединим логарифмы

Первый аргумент делим на второй и связываем частное с основанием.

\log_{0{,}7}10-\log_{0{,}7}7=\log_{0{,}7}\dfrac{10}{7}

0{,}7=\dfrac7{10},\qquad\dfrac{10}{7}=(0{,}7)^{-1}

Шаг 3. Применим определение логарифма

Логарифм степени основания равен её показателю.

\log_{0{,}7}(0{,}7)^{-1}=-1

Шаг 4. Проверим вычисление и запишем ответ

Основание в степени −1 действительно даёт 10/7.

(0{,}7)^{-1}=\dfrac1{0{,}7}=\dfrac{10}{7}

\log_{0{,}7}\dfrac{10}{7}=-1

Полученное значение совпадает с точной преобразованной записью. В ответ переносим число -1.

Ответ:

-1

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Разность логарифмов
Разность логарифмов положительных аргументов при одинаковом основании равна логарифму их частного.
$\log_a x-\log_a y=\log_a\left(\dfrac{x}{y}\right)$
Почему правило подходит именно здесь
Получим аргумент 10/7 и представим его как обратное число к основанию 0,7 = 7/10.
$\log_{0{,}7}10-\log_{0{,}7}7=\log_{0{,}7}\dfrac{10}{7}$
Точный числовой контроль
Основание в степени −1 действительно даёт 10/7.
$\log_{0{,}7}\dfrac{10}{7}=-1$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Испугаться основания меньше единицы
Основание 0,7 допустимо: оно положительно и не равно 1; отрицательный ответ закономерен.
$0<0{,}7<1$
Перевернуть частное
При вычитании log 10 − log 7 в частном сверху остаётся 10.
$\log_a10-\log_a7=\log_a\dfrac{10}{7}$
Записать промежуточный результат вместо ответа
После преобразования нужно довести вычисление до числа -1 и перенести в поле ответа только это число.
$\boxed{-1}$

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Исходные данные переписаны верно
Все показатели, корни, основания, углы и знаки совпадают с условием этой задачи.
$\log_{0{,}7}10-\log_{0{,}7}7$
Ключевое преобразование проверено
Получим аргумент 10/7 и представим его как обратное число к основанию 0,7 = 7/10.
$0{,}7=\dfrac7{10},\qquad\dfrac{10}{7}=(0{,}7)^{-1}$
Ответ получен точно
Основание в степени −1 действительно даёт 10/7.
$\boxed{-1}$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №8Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите значение выражения log0,7​(10)−log0,7​(7).