Задание 34 из 51Вычисления и преобразования

Линия №8 · Базовый уровень

Найдите значение выражения 3 $cos (2 α)$ , если sin α = 0,2.

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: F6158A

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 2,76

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Известен sin α, значит кратчайший путь — формула двойного угла через sin²α.

3\cos2\alpha,\qquad\sin\alpha=0{,}2

Ключевая идея:

Квадрат 0,2 равен 0,04; после вычисления cos2α умножим результат на 3.

\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно это выражение: последовательно выберем формулу, выполним точные преобразования и проверим результат.

Дано:

3\cos2\alpha,\qquad\sin\alpha=0{,}2

Нужно найти: значение данного выражения.

План решения: Квадрат 0,2 равен 0,04; после вычисления cos2α умножим результат на 3.

Поясняющая формула для этой задачи

\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha

При известном синусе удобно использовать форму 1 − 2sin²α.

Шаг 1. Разберём структуру выражения

Известен sin α, значит кратчайший путь — формула двойного угла через sin²α. Сначала фиксируем исходную запись и выбираем преобразование, которое выполняется точно, без приближённых вычислений.

3\cos2\alpha,\qquad\sin\alpha=0{,}2

\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha

Шаг 2. Найдём cos2α

Соблюдаем порядок: квадрат, умножение на 2, вычитание из 1.

\sin^2\alpha=0{,}2^2=0{,}04

\cos2\alpha=1-2\cdot0{,}04=1-0{,}08=0{,}92

Шаг 3. Вычислим всё выражение

Умножаем 0,92 на внешний коэффициент 3.

3\cos2\alpha=3\cdot0{,}92=2{,}76

Шаг 4. Проверим вычисление и запишем ответ

Сам cos2α равен 0,92 и не выходит за [−1;1]; после умножения получается 2,76.

-1\le0{,}92\le1

0{,}92\cdot3=2{,}76

Полученное значение совпадает с точной преобразованной записью. В ответ переносим число 2,76.

Ответ:

2{,}76

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Формула двойного угла
При известном синусе удобно использовать форму 1 − 2sin²α.
$\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha$
Почему правило подходит именно здесь
Квадрат 0,2 равен 0,04; после вычисления cos2α умножим результат на 3.
$\sin^2\alpha=0{,}2^2=0{,}04$
Точный числовой контроль
Сам cos2α равен 0,92 и не выходит за [−1;1]; после умножения получается 2,76.
$0{,}92\cdot3=2{,}76$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Считать, что ответ не может быть больше 1
Ограничение [−1;1] относится к cos2α, но всё выражение умножено на 3.
$\cos2\alpha=0{,}92,\qquad3\cos2\alpha=2{,}76$
Ошибиться в квадрате 0,2
При умножении десятых получаются сотые.
$0{,}2\cdot0{,}2=0{,}04$
Записать промежуточный результат вместо ответа
После преобразования нужно довести вычисление до числа 2,76 и перенести в поле ответа только это число.
$\boxed{2{,}76}$

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Исходные данные переписаны верно
Все показатели, корни, основания, углы и знаки совпадают с условием этой задачи.
$3\cos2\alpha,\qquad\sin\alpha=0{,}2$
Ключевое преобразование проверено
Квадрат 0,2 равен 0,04; после вычисления cos2α умножим результат на 3.
$\cos2\alpha=1-2\cdot0{,}04=1-0{,}08=0{,}92$
Ответ получен точно
Сам cos2α равен 0,92 и не выходит за [−1;1]; после умножения получается 2,76.
$\boxed{2{,}76}$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №8Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите значение выражения 3cos(2α), если sin α = 0,2.