Задание 32 из 87Вычисления и преобразования

Линия №8

Найдите значение выражения 3 $cos (2 α)$ , если cos α = −0,8.

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 75591A

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 0,84

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Дан косинус α, поэтому выбираем формулу двойного угла через cos²α.

3\cos2\alpha,\qquad\cos\alpha=-0{,}8

Ключевая идея:

Знак cos α исчезнет при возведении в квадрат; затем умножим cos2α на 3.

\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно это выражение: последовательно выберем формулу, выполним точные преобразования и проверим результат.

Дано:

3\cos2\alpha,\qquad\cos\alpha=-0{,}8

Нужно найти: значение данного выражения.

План решения: Знак cos α исчезнет при возведении в квадрат; затем умножим cos2α на 3.

Поясняющая формула для этой задачи

\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1

Формула позволяет вычислить cos2α непосредственно по известному cos α.

Шаг 1. Разберём структуру выражения

Дан косинус α, поэтому выбираем формулу двойного угла через cos²α. Сначала фиксируем исходную запись и выбираем преобразование, которое выполняется точно, без приближённых вычислений.

3\cos2\alpha,\qquad\cos\alpha=-0{,}8

\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1

Шаг 2. Найдём квадрат косинуса

Квадрат числа −0,8 равен 0,64.

\cos^2\alpha=(-0{,}8)^2=0{,}64

\cos2\alpha=2\cdot0{,}64-1=1{,}28-1=0{,}28

Шаг 3. Учтём коэффициент 3

Умножаем найденный косинус двойного угла на 3.

3\cos2\alpha=3\cdot0{,}28=0{,}84

Шаг 4. Проверим вычисление и запишем ответ

cos2α = 0,28 находится в диапазоне [−1;1], а 0,28·3 = 0,84.

-1\le0{,}28\le1

0{,}28\cdot3=0{,}84

Полученное значение совпадает с точной преобразованной записью. В ответ переносим число 0,84.

Ответ:

0{,}84

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Косинус двойного угла через косинус
Формула позволяет вычислить cos2α непосредственно по известному cos α.
$\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1$
Почему правило подходит именно здесь
Знак cos α исчезнет при возведении в квадрат; затем умножим cos2α на 3.
$\cos^2\alpha=(-0{,}8)^2=0{,}64$
Точный числовой контроль
cos2α = 0,28 находится в диапазоне [−1;1], а 0,28·3 = 0,84.
$0{,}28\cdot3=0{,}84$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Сохранить минус после возведения в квадрат
Квадрат отрицательного числа положителен.
$(-0{,}8)^2=0{,}64$
Подставить формулу 2cos α − 1
В формуле двойного угла косинус обязательно возводится в квадрат.
$\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1$
Записать промежуточный результат вместо ответа
После преобразования нужно довести вычисление до числа 0,84 и перенести в поле ответа только это число.
$\boxed{0{,}84}$

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Исходные данные переписаны верно
Все показатели, корни, основания, углы и знаки совпадают с условием этой задачи.
$3\cos2\alpha,\qquad\cos\alpha=-0{,}8$
Ключевое преобразование проверено
Знак cos α исчезнет при возведении в квадрат; затем умножим cos2α на 3.
$\cos2\alpha=2\cdot0{,}64-1=1{,}28-1=0{,}28$
Ответ получен точно
cos2α = 0,28 находится в диапазоне [−1;1], а 0,28·3 = 0,84.
$\boxed{0{,}84}$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №8Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите значение выражения 3cos(2α), если cos α = −0,8.