Задание 27 из 51Вычисления и преобразования

Линия №8 · Базовый уровень

Найдите значение выражения $\frac{l o g _{6} ( 17 )}{l o g _{36} ( 17 )}$ .

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: DB6A39

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 2

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

У логарифмов одинаковый аргумент 17, но разные основания 6 и 36.

\dfrac{\log_6 17}{\log_{36}17}

Ключевая идея:

Запишем оба логарифма через натуральный логарифм; ln17 сократится, а 36 = 6².

\log_a b=\dfrac{\ln b}{\ln a}

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно это выражение: последовательно выберем формулу, выполним точные преобразования и проверим результат.

Дано:

\dfrac{\log_6 17}{\log_{36}17}

Нужно найти: значение данного выражения.

План решения: Запишем оба логарифма через натуральный логарифм; ln17 сократится, а 36 = 6².

Поясняющая формула для этой задачи

\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}

Каждый логарифм можно выразить через логарифмы по одному общему основанию.

Шаг 1. Разберём структуру выражения

У логарифмов одинаковый аргумент 17, но разные основания 6 и 36. Сначала фиксируем исходную запись и выбираем преобразование, которое выполняется точно, без приближённых вычислений.

\dfrac{\log_6 17}{\log_{36}17}

\log_a b=\dfrac{\ln b}{\ln a}

Шаг 2. Перейдём к натуральным логарифмам

Деление двух дробей заменяем умножением на обратную; одинаковый множитель ln17 сокращается.

\dfrac{\frac{\ln17}{\ln6}}{\frac{\ln17}{\ln36}}=\dfrac{\ln17}{\ln6}\cdot\dfrac{\ln36}{\ln17}

=\dfrac{\ln36}{\ln6}

Шаг 3. Используем 36 = 6²

Логарифм степени выносит показатель 2.

\ln36=\ln(6^2)=2\ln6

\dfrac{2\ln6}{\ln6}=2

Шаг 4. Проверим вычисление и запишем ответ

Так как log₃₆17 вдвое меньше log₆17, их отношение равно 2.

\log_{36}17=\dfrac{\ln17}{2\ln6}=\dfrac12\log_6 17

\dfrac{\log_6 17}{\frac12\log_6 17}=2

Полученное значение совпадает с точной преобразованной записью. В ответ переносим число 2.

Ответ:

2

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Формула смены основания
Каждый логарифм можно выразить через логарифмы по одному общему основанию.
$\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}$
Почему правило подходит именно здесь
Запишем оба логарифма через натуральный логарифм; ln17 сократится, а 36 = 6².
$\dfrac{\frac{\ln17}{\ln6}}{\frac{\ln17}{\ln36}}=\dfrac{\ln17}{\ln6}\cdot\dfrac{\ln36}{\ln17}$
Точный числовой контроль
Так как log₃₆17 вдвое меньше log₆17, их отношение равно 2.
$\dfrac{\log_6 17}{\frac12\log_6 17}=2$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Сократить аргументы 17 напрямую
Сокращение становится обоснованным только после записи через одно основание.
$\dfrac{\ln17}{\ln6}\cdot\dfrac{\ln36}{\ln17}=\dfrac{\ln36}{\ln6}$
Считать log₃₆17 в два раза больше
Чем больше основание 6², тем вдвое меньше нужный показатель для того же аргумента.
$\log_{36}17=\frac12\log_6 17$
Записать промежуточный результат вместо ответа
После преобразования нужно довести вычисление до числа 2 и перенести в поле ответа только это число.
$\boxed{2}$

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Исходные данные переписаны верно
Все показатели, корни, основания, углы и знаки совпадают с условием этой задачи.
$\dfrac{\log_6 17}{\log_{36}17}$
Ключевое преобразование проверено
Запишем оба логарифма через натуральный логарифм; ln17 сократится, а 36 = 6².
$=\dfrac{\ln36}{\ln6}$
Ответ получен точно
Так как log₃₆17 вдвое меньше log₆17, их отношение равно 2.
$\boxed{2}$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №8Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите значение выражения log36​(17)log6​(17)​.