Задание 48 из 51Вычисления и преобразования

Линия №8 · Базовый уровень

Найдите значение выражения $63 cos^{2} (\frac{11 π}{12}) - 33$ .

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 9302BE

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 4,5

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Общий множитель 3√3 оставляет в скобках 2cos²x − 1.

6\sqrt3\cos^2\dfrac{11\pi}{12}-3\sqrt3

Ключевая идея:

Применим формулу cos2x, затем найдём cos(11π/6).

2\cos^2x-1=\cos2x

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно это выражение: последовательно выберем формулу, выполним точные преобразования и проверим результат.

Дано:

6\sqrt3\cos^2\dfrac{11\pi}{12}-3\sqrt3

Нужно найти: значение данного выражения.

План решения: Применим формулу cos2x, затем найдём cos(11π/6).

Поясняющая формула для этой задачи

6\sqrt3\cos^2x-3\sqrt3=3\sqrt3(2\cos^2x-1)

Коэффициенты 6√3 и 3√3 специально относятся как 2:1.

Шаг 1. Разберём структуру выражения

Общий множитель 3√3 оставляет в скобках 2cos²x − 1. Сначала фиксируем исходную запись и выбираем преобразование, которое выполняется точно, без приближённых вычислений.

6\sqrt3\cos^2\dfrac{11\pi}{12}-3\sqrt3

2\cos^2x-1=\cos2x

Шаг 2. Вынесем 3√3

Удваиваем угол 11π/12 до 11π/6.

3\sqrt3\left(2\cos^2\dfrac{11\pi}{12}-1\right)=3\sqrt3\cos\dfrac{11\pi}{6}

\cos\dfrac{11\pi}{6}=\dfrac{\sqrt3}{2}

Шаг 3. Вычислим точное значение

Произведение √3·√3 даёт 3.

3\sqrt3\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{3\cdot3}{2}=\dfrac92=4{,}5

Шаг 4. Проверим вычисление и запишем ответ

11π/6 находится в IV четверти, косинус положителен; 9/2 = 4,5.

\cos\dfrac{11\pi}{6}>0

\dfrac92=4{,}5

Полученное значение совпадает с точной преобразованной записью. В ответ переносим число 4,5.

Ответ:

4{,}5

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Выделение формулы двойного угла
Коэффициенты 6√3 и 3√3 специально относятся как 2:1.
$6\sqrt3\cos^2x-3\sqrt3=3\sqrt3(2\cos^2x-1)$
Почему правило подходит именно здесь
Применим формулу cos2x, затем найдём cos(11π/6).
$3\sqrt3\left(2\cos^2\dfrac{11\pi}{12}-1\right)=3\sqrt3\cos\dfrac{11\pi}{6}$
Точный числовой контроль
11π/6 находится в IV четверти, косинус положителен; 9/2 = 4,5.
$\dfrac92=4{,}5$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Вынести только √3
Так можно, но формула появится не сразу; удобный общий множитель — 3√3.
$6\sqrt3\cos^2x-3\sqrt3=3\sqrt3(2\cos^2x-1)$
Считать cos(11π/6) отрицательным
В IV четверти косинус положителен.
$\cos\dfrac{11\pi}{6}=\dfrac{\sqrt3}{2}$
Записать промежуточный результат вместо ответа
После преобразования нужно довести вычисление до числа 4,5 и перенести в поле ответа только это число.
$\boxed{4{,}5}$

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Исходные данные переписаны верно
Все показатели, корни, основания, углы и знаки совпадают с условием этой задачи.
$6\sqrt3\cos^2\dfrac{11\pi}{12}-3\sqrt3$
Ключевое преобразование проверено
Применим формулу cos2x, затем найдём cos(11π/6).
$\cos\dfrac{11\pi}{6}=\dfrac{\sqrt3}{2}$
Ответ получен точно
11π/6 находится в IV четверти, косинус положителен; 9/2 = 4,5.
$\boxed{4{,}5}$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №8Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите значение выражения 63​cos2(1211π​)−33​.