Задание 49 из 51Вычисления и преобразования

Линия №8 · Базовый уровень

Найдите значение выражения $42 - 82 sin^{2} (\frac{7 π}{8})$ .

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 23C8BB

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 4

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

После вынесения 4√2 получается формула 1 − 2sin²x.

4\sqrt2-8\sqrt2\sin^2\dfrac{7\pi}8

Ключевая идея:

Свернём скобку в cos2x при x = 7π/8 и используем cos(7π/4).

1-2\sin^2x=\cos2x

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно это выражение: последовательно выберем формулу, выполним точные преобразования и проверим результат.

Дано:

4\sqrt2-8\sqrt2\sin^2\dfrac{7\pi}8

Нужно найти: значение данного выражения.

План решения: Свернём скобку в cos2x при x = 7π/8 и используем cos(7π/4).

Поясняющая формула для этой задачи

A-2A\sin^2x=A(1-2\sin^2x)=A\cos2x

Коэффициенты 4√2 и 8√2 дают после вынесения отношение 1:2.

Шаг 1. Разберём структуру выражения

После вынесения 4√2 получается формула 1 − 2sin²x. Сначала фиксируем исходную запись и выбираем преобразование, которое выполняется точно, без приближённых вычислений.

4\sqrt2-8\sqrt2\sin^2\dfrac{7\pi}8

1-2\sin^2x=\cos2x

Шаг 2. Вынесем общий множитель

Удваиваем угол 7π/8 до 7π/4.

4\sqrt2\left(1-2\sin^2\dfrac{7\pi}8\right)=4\sqrt2\cos\dfrac{7\pi}4

\cos\dfrac{7\pi}4=\dfrac{\sqrt2}{2}

Шаг 3. Упростим радикалы

√2·√2/2 = 1.

4\sqrt2\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=4\cdot\dfrac22=4

Шаг 4. Проверим вычисление и запишем ответ

Косинус 7π/4 положителен, поэтому итог положителен.

\cos\dfrac{7\pi}4>0

\dfrac{\sqrt2\sqrt2}{2}=1

Полученное значение совпадает с точной преобразованной записью. В ответ переносим число 4.

Ответ:

4

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Косинус двойного угла через sin²x
Коэффициенты 4√2 и 8√2 дают после вынесения отношение 1:2.
$A-2A\sin^2x=A(1-2\sin^2x)=A\cos2x$
Почему правило подходит именно здесь
Свернём скобку в cos2x при x = 7π/8 и используем cos(7π/4).
$4\sqrt2\left(1-2\sin^2\dfrac{7\pi}8\right)=4\sqrt2\cos\dfrac{7\pi}4$
Точный числовой контроль
Косинус 7π/4 положителен, поэтому итог положителен.
$\dfrac{\sqrt2\sqrt2}{2}=1$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Вынести 8√2
У первого слагаемого коэффициент только 4√2, поэтому естественный общий множитель — 4√2.
$4\sqrt2-8\sqrt2\sin^2x=4\sqrt2(1-2\sin^2x)$
Свернуть 1 − 2sin²x в sin2x
Это одна из форм косинуса двойного угла.
$1-2\sin^2x=\cos2x$
Записать промежуточный результат вместо ответа
После преобразования нужно довести вычисление до числа 4 и перенести в поле ответа только это число.
$\boxed{4}$

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Исходные данные переписаны верно
Все показатели, корни, основания, углы и знаки совпадают с условием этой задачи.
$4\sqrt2-8\sqrt2\sin^2\dfrac{7\pi}8$
Ключевое преобразование проверено
Свернём скобку в cos2x при x = 7π/8 и используем cos(7π/4).
$\cos\dfrac{7\pi}4=\dfrac{\sqrt2}{2}$
Ответ получен точно
Косинус 7π/4 положителен, поэтому итог положителен.
$\boxed{4}$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №8Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите значение выражения 42​−82​sin2(87π​).