Задание 42 из 87Вычисления и преобразования

Линия №8

Найдите значение выражения $3 s in (\frac{13 π}{12}) \cdot cos (\frac{13 π}{12})$ .

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: F6A6E0

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 0,75

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Синус и косинус имеют одинаковый угол, поэтому используем синус двойного угла.

3\sin\dfrac{13\pi}{12}\cos\dfrac{13\pi}{12}

Ключевая идея:

Заменим произведение на sin(13π/6)/2 и приведём угол 13π/6 к π/6.

\sin x\cos x=\dfrac12\sin2x

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно это выражение: последовательно выберем формулу, выполним точные преобразования и проверим результат.

Дано:

3\sin\dfrac{13\pi}{12}\cos\dfrac{13\pi}{12}

Нужно найти: значение данного выражения.

План решения: Заменим произведение на sin(13π/6)/2 и приведём угол 13π/6 к π/6.

Поясняющая формула для этой задачи

2\sin x\cos x=\sin2x

Произведение sin x cos x равно половине sin2x.

Шаг 1. Разберём структуру выражения

Синус и косинус имеют одинаковый угол, поэтому используем синус двойного угла. Сначала фиксируем исходную запись и выбираем преобразование, которое выполняется точно, без приближённых вычислений.

3\sin\dfrac{13\pi}{12}\cos\dfrac{13\pi}{12}

\sin x\cos x=\dfrac12\sin2x

Шаг 2. Преобразуем произведение

При x = 13π/12 двойной угол равен 13π/6.

3\sin\dfrac{13\pi}{12}\cos\dfrac{13\pi}{12}=\dfrac32\sin\dfrac{13\pi}{6}

\dfrac{13\pi}{6}=2\pi+\dfrac\pi6\Longrightarrow\sin\dfrac{13\pi}{6}=\dfrac12

Шаг 3. Вычислим произведение дробей

Умножаем 3/2 на 1/2.

\dfrac32\cdot\dfrac12=\dfrac34=0{,}75

Шаг 4. Проверим вычисление и запишем ответ

Период 2π вычтен верно, sin(π/6) = 1/2.

\sin\left(2\pi+\dfrac\pi6\right)=\sin\dfrac\pi6=\dfrac12

\dfrac34=0{,}75

Полученное значение совпадает с точной преобразованной записью. В ответ переносим число 0,75.

Ответ:

0{,}75

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Удвоение угла в произведении
Произведение sin x cos x равно половине sin2x.
$2\sin x\cos x=\sin2x$
Почему правило подходит именно здесь
Заменим произведение на sin(13π/6)/2 и приведём угол 13π/6 к π/6.
$3\sin\dfrac{13\pi}{12}\cos\dfrac{13\pi}{12}=\dfrac32\sin\dfrac{13\pi}{6}$
Точный числовой контроль
Период 2π вычтен верно, sin(π/6) = 1/2.
$\dfrac34=0{,}75$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Считать sin(13π/6) отрицательным
После вычитания 2π остаётся π/6, где синус положителен.
$\sin\dfrac{13\pi}{6}=\sin\dfrac\pi6=\dfrac12$
Потерять половину из формулы
Произведение sin x cos x равно sin2x/2.
$\sin x\cos x=\dfrac{\sin2x}{2}$
Записать промежуточный результат вместо ответа
После преобразования нужно довести вычисление до числа 0,75 и перенести в поле ответа только это число.
$\boxed{0{,}75}$

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Исходные данные переписаны верно
Все показатели, корни, основания, углы и знаки совпадают с условием этой задачи.
$3\sin\dfrac{13\pi}{12}\cos\dfrac{13\pi}{12}$
Ключевое преобразование проверено
Заменим произведение на sin(13π/6)/2 и приведём угол 13π/6 к π/6.
$\dfrac{13\pi}{6}=2\pi+\dfrac\pi6\Longrightarrow\sin\dfrac{13\pi}{6}=\dfrac12$
Ответ получен точно
Период 2π вычтен верно, sin(π/6) = 1/2.
$\boxed{0{,}75}$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №8Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите значение выражения 3sin(1213π​)⋅cos(1213π​).